К решению задач по электричеству

Заметим, что такой же ответ можно получить, воспользовавшись формулой для плотности энергии электромагнитного поля w :

				w	0 E2		0 H2	0 E2 .
				2		2
Тогда dW wcdt		0		E2 . Таким образом, оба выражения – для w и для S - приво-
		0

дят к одинаковому результату.

Пример 9.9. Между двумя концентрическими металлическими сферами находится слабо проводящий диэлектрик. Внутренняя сфера заряжена. Найти ток смещения через (произвольную) замкнутую поверхность, охватывающую внутреннюю сферу.

Решение.

По определение ток смещения jсм		D . Полный ток смещения
				d
	Iсм jdS				DdS	q .
				dt

По теореме Гаусса DdS q , тогда

dq I .

см dt

Сдругой стороны, по закону сохранения заряда

jпрdS Iпрq

По закону Ома

jпр E ,

где - проводимость, тогда

	q EdS			q		.
	Таким образом,			0
			q
	Iсм Iпр				.
			0

Вектор D уменьшается, так как число положительных зарядов уменьшается. Пример 9.10. Длинный прямой соленоид радиуса R имеет n витков на единицу длины. По нему течет ток I I0 sin t . Найти плотность тока смещения в зависимости от расстояния до оси соленоида.

	Решение.
Из определения следует, что jсм	0 E . Электрическое поле возникает в результа-

те электромагнитной индукции E 2 rE Ф, где Ф - магнитный поток через окруж-

ность радиуса r . При r R магнитный поток	Ф r2 B . Поле внутри соленоида рав-
но B nI 0 . Таким образом, при r R

r

nr

,

nr

nr 2 0

I0 sin t .

E

2

B

2

I 0

E

2

I 0

2

Тогда плотность тока смещения

nr 2 0 0

jсм

I0 sin t .

2

При r R магнитный поток

Ф R2B , так как снаружи соленоида B 0 . Таким об-

разом, при r R

R2

nR2

,

E

B

I 0

2r

2r

nR2

n 2R2 0

I0 sin t .

Т.е. тока смещения

E

2r

0 I

2r

n 2R2 0 0

jсм

I0 sin t .

2r

III. Задачи для самостоятельного решения

9.1.. Плоский конденсатор с круглыми пластинами медленно заряжают. Показать, что поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность конденсатора равен IU . Рас-

сеянием поля на краях пренебречь.

9.2. Плоский конденсатор с круглыми обкладками радиуса a медленно заряжают. Пренебрегая краевыми эффектами (рассеянием поля), показать, что скорость возрастания энергии электрического поля конденсатора равна потоку вектора Пойнтинга через его боковую поверхность.

Ответ: W EDV . 2

9.3. .По прямому проводнику круглого сечения течет постоянный ток I . Найти поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность участка данного проводника, имеющего сопротивление R .

Ответ: ФS I2 R . 10.4. Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида (r - радиус соленоида, L - длину соленоида, n - число витков на единицу длины) медленно меняется по закону I At2 . Найти поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность.

Ответ: ФS A2n2 2I2t3 0 L .

9.5.Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида, увеличивают. Показать, что скорость возрастания энергии магнитного поля в соленоиде равна потоку вектора Пойнтинга через его боковую поверхность.

9.6.Нерелятивистские протоны, ускоренные разностью потенциалов U , образуют пу-

чок круглого сечения с током I . Найти модуль и направление вектора Пойнтинга вне пучка на расстоянии r от его оси.

Ответ: S	I2		m	.
	4 2 0r2
			2eU

9.7. Плоский воздушный конденсатор, обкладки которого имеют форму дисков радиуса R , подключен к переменному синусоидальному напряжению частоты . Найти отношение амплитудных значений электрической и магнитной энергий внутри конденсатора.

Ответ: Wм 0 0 2 R2 .

Wэ 8

9.8. Переменный синусоидальный ток частоты течет по обмотке прямого соленоида, радиус сечения которого R . Найти отношение амплитудных значений электрической и магнитной энергий внутри соленоида.

Ответ: Wэ 0 0 2 R2 .

Wм 8

9.9. .Показать, что на границе раздела двух сред нормальные составляющие вектора Пойнтинга не терпят разрыва.

9.10.Двухпроводная линия соединяет генератор постоянного тока с нагрузкой. Определить направление вектора Пойнтинга, не учитывая потерь на линии. Что изменяется при учете потерь?

9.11.На двухпроводной линии ток отстает по фазе от напряжения на 900 . Показать, что вектор Пойнтинга каждую четверть периода изменяет направление на обратное, и полный поток энергии равен нулю.

9.12.Двухпроводная линия соединяет генератор переменного тока с нагрузкой. Определить направление вектора Пойнтинга, не учитывая потерь на линии. Что изменяется при учете потерь? Используйте методику решения предыдущей задачи.

9.13.. Энергия от источника постоянного напряжения U передается к потребителю по длинному коаксиальному кабелю с пренебрежимо малым сопротивлением. Ток в кабеле I . Найти поток энергии через поперечное сечение кабеля. Внешняя проводящая оболочка кабеля тонкостенная.

Ответ: ФS IU .

9.14. Генератор переменного напряжения U U 0 cos t передает энергию потребите-

лю по длинному прямому коаксиальному кабелю с пренебрежимо малым активным сопротивлением. Ток в цепи меняется по закону I I0 cos( t ). Найти средний по

времени поток энергии через поперечное сечение кабеля. Внешняя оболочка кабеля тонкостенная.

Ответ: ФS I0U0 cos . 2

9.15. Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однородная слабо проводящая среда. Конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения. Пренебрегая краевыми эффектами, показать, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует.

Ответ: Кроме тока проводимости следует учесть ток смещения. 9.16. Плоский воздушный конденсатор, площадь каждой пластины которого S 100см2, включен последовательно в цепь переменного тока. Найти амплитуду напряженности электрического поля в конденсаторе, если амплитуда синусоидального тока в подводящих проводах Im 1 мА и частота тока 1,6 107 с-1.

Ответ: Em		Im	.
		0 S

9.17. Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводимостью и диэлектрической проницаемостью . Расстояние между обкладками d . Пренебрегая краевыми эффектами, найти напряженность магнитного поля между обкладками на расстоянии r от их оси, если на конденсатор подано переменное напряжение U U m cos t .

		cos t , где H			rUm
Ответ: H H							2 2	,	определяется из выраже-
					2d
	m		m			0

ния tg 0 .

9.18. Точечный заряд q движется с нерелятивистской скоростью v const . Найти плотность тока смещения jсм в точке, находящейся на расстоянии r от заряда на пря-

мой:

а) совпадающей с траекторией заряда; б) перпендикулярной к траектории и проходящей через заряд.

Ответ: а) j			2qv	; б) j			qv	.
	см		4 r3		см
							4 r3