матан 3 курс 2013 / практика / Визначений інтеграл / практическое занятие № 7

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 7

з теми: «Властивості інтегруємих функцій.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.08 Визначений інтеграл

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІI

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Властивості інтегруємих функцій.

Мета:

• Дидактична: поглибити навички застосування таблиці первісних для знаходження інтеграла Ньютона – Лейбніца, розвивати вміння володіти методами інтегрування, досліджувати функцію на інтегрованість за Ріманом, застосовувати інтеграл Рімана при розв'язанні задач механіки та фізики.

• Виховна: підвищити рівень засвоєння навчального матеріалу, розвивати наукове мислення, усне мовлення студентів.

• Методична: вдосконалювати методику проведення практичних занять з використанням технології проблемного та проектного навчання.

Тип: Практичне заняття

Вид: практичне заняття – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: практичні, дедуктивні, проблемно – пошукові, фронтальна, групова робота.

Наочні посібники: -

Роздавальний матеріал: тестові завдання до актуалізації знань, картки - завдання до самостійного виконання студентами.

Обчислювальні засоби: -

Література:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Мотивація навчальної діяльності студентів: вивчити основний математичний апарат – визначений інтеграл, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.

3. Актуалізація опорних знань: властивості визначеного інтегралу Рімана, теореми про середнє для визначеного інтегралу.

• Контроль за підготовкою студентів до практичного заняття:

4. Інструктаж щодо виконання практичної роботи.

5. Видача завдань для виконання роботи.

6. Виконання студентами практичної роботи.

7. Оформлення індивідуальних звітів виконаної роботи, захист практичної роботи.

8. Підведення підсумків. Оцінювання.

9. Домашнє завдання:

Конспект практичного заняття № 7.

Тема: «Властивості інтегруємих функцій.»

Інструктаж до виконання практичного завдання.

Методичні вказівки.

Функція ƒ називається інтегрованою за Ріманом на відрізку [a, b], якщо існує таке число І, що для будь – якої послідовності розбиття τn = , n = 1,2,…, відрізка [a, b] дрібностей розбиття, що йдуть до 0 при n→∞: та при любому виборі точок існує границя інтегральних сум στ та він дорівнює І: . Число І називається інтегралом Рімана від функції ƒ на відрізку [a, b] та позначається .

Для того, щоб обмежена на деякому відрізку функція була інтегрована на цьому відрізку, необхідно та достатньо, щоб суми Дарбу Sτ та sτ цієї функції задовольняли умову (Sτ - sτ) = 0.

Якщо функція інтегрована на деякому відрізку, то вона обмежена на ньому.

Функція, що неперервна на відрізку, інтегрована на ньому.

Функція, що монотонна на відрізку, інтегрована на ньому.

Основні властивості визначеного інтегралу.

1) ;

2. якщо функція ƒ інтегрована на відрізку [a, b], то вона інтегрована й на будь – якому відрізку [c, d] [a, b].

3. Адитивність інтеграла. Якщо функція ƒ інтегрована на відрізку [a, b] та a < c < b, то =+.

4. Лінійність інтеграла. Якщо функції ƒ та g інтегровані на відрізку [a, b], то R функція λƒ + μg також інтегрована на відрізку [a, b], причому =+.

5. Інтегрованість добутку інтегрованих функцій. Якщо функції ƒ та g інтегровані на відрізку [a, b], то їх добуток також інтегрований на відрізку [a, b].

6. Інтегрованість нерівностей. Якщо функція ƒ інтегрована та невід’ємна на відрізку [a, b], ƒ(х) ≥ 0, х [a, b], то ≥ 0.

Якщо функції ƒ та g інтегровані на відрізку [a, b] та ƒ(х) ≥ g(х), х [a, b], то ≥ (- ≥ 0).

2. Якщо функція ƒ інтегрована та невід’ємна на відрізку [a, b], існує точка х0 [a, b], в якій функція ƒ неперервна та ƒ(х0) > 0, то > 0.

3. Якщо функція ƒ інтегрована на відрізку [a, b], то її абсолютна величина |ƒ| інтегрована на ньому та ≤ .

4. Неперервність інтеграла. Якщо функція ƒ інтегрована на відрізку [a, b], то функції F(х) = та G(х) = неперервні на цьому відрізку.

Теорема. Нехай: 1) функції ƒ та g інтегровані на відрізку [a, b];

2) m ≤ ƒ ≤ M, х [a, b];

3) функція g не змінює знаку на [a, b]. Тоді існує таке число μ, m ≤ μ ≤ M, що = .

Зокрема, якщо g(х) ≡ 1 на [a, b], то = .

Якщо врахувати, що М = supƒ(х), m = infƒ(х), х [a, b], то

≤ ≤ .

Приклади виконання практичного завдання.

1. Оцінити інтеграл .

Розв’язання:

Функція - обмежена, тому ;

.

2. Вияснити, який з інтегралів більше.

Розв’язання: так як на відрізку функції та неперервні, а тому й інтегровані, а на інтервалі виконується нерівність < , то

Виконати практичне завдання

Домашнє завдання: Б. П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Стор. 220, №№2316, 2317. Стор. 221, №№2318, 2323,2324. Стор. 222, №№2328 – 2330.