матан 3 курс 2013 / практика / Функціональні послідовності і ряди / практичне заняття № 16

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 16

з теми: «Дослідження на рівномірну збіжність функціональних послідовностей і рядів.»

Модуль КЗН-02.ПР.О.03.11 Функціональні послідовності і ряди

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІI

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Дослідження на рівномірну збіжність функціональних послідовностей і рядів.

Мета:

• Дидактична: виробити вміння досліджувати на рівномірну збіжність функціональні послідовності та ряди, користуючись необхідними та достатніми умовами збіжності.

• Виховна: підвищити рівень засвоєння навчального матеріалу, розвивати наукове мислення, усне мовлення студентів.

• Методична: вдосконалювати методику проведення практичних занять з використанням технології проблемного та проектного навчання.

Тип: практичне заняття

Вид: практичне заняття – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: практичні, дедуктивні, проблемно – пошукові, фронтальна, групова робота.

Наочні посібники: -

Роздавальний матеріал: тестові завдання до актуалізації знань, картки - завдання до самостійного виконання студентами.

Обчислювальні засоби: -

Література:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Мотивація навчальної діяльності студентів: вивчити основний математичний апарат – функціональний ряд, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.

3. Актуалізація опорних знань: визначення функціональної послідовності, визначення функціонального ряду, визначення рівномірно збіжної послідовності, визначення рівномірно збіжного функціонального ряду, критерії рівномірної збіжності функціональної послідовності, ознаки рівномірної збіжності функціонального ряду, область збіжності функціональної послідовності, область збіжності функціонального ряду.

• Контроль за підготовкою студентів до практичного заняття:

4. Інструктаж щодо виконання практичної роботи.

5. Видача завдань для виконання роботи.

6. Виконання студентами практичної роботи.

7. Оформлення індивідуальних звітів виконаної роботи, захист практичної роботи.

8. Підведення підсумків. Оцінювання.

9. Домашнє завдання:

Конспект практичного заняття № 16.

Тема: «Дослідження на рівномірну збіжність функціональних послідовностей і рядів.»

Інструктаж щодо виконання практичного завдання.

Рівномірна збіжність функціональної послідовності.

Визначення. Функціональна послідовність називається рівномірно збіжною до функції ƒ на множині Х, якщо для будь-якого існує такий номер , що для всіх точок та всіх номерів має місце нерівність . Якщо послідовність збігається на множині Х до функції ƒ, то пишуть , а якщо послідовність збігається рівномірно до функції ƒ на даній множині, то пишуть .

За допомогою символів визначення можна записати наступним чином:

Лема 1. Для того щоб послідовність рівномірно збігалась до функції ƒ на множині Х, необхідно та достатньо, щоб .

Наслідки. Якщо існує нескінченно мала послідовність , тобто , така, що для всіх виконується нерівність , то послідовність рівномірно збігається до функції ƒ на множині Х.

Теорема.(Критерій Коші рівномірної збіжності послідовності). Для того, щоб послідовність рівномірно збігалась на множині Х до функції ƒ, необхідно та достатньо, щоб для будь-якого існував такий номер , що для всіх точок та всіх номерів та всіх р = 0, 1, 2, … мала місце нерівність .

За допомогою символів критерій можна записати наступним чином:

Рівномірна збіжність функціонального ряду.

Визначення. Ряд називається рівномірно збіжним на множині Х, якщо на Х рівномірно збігається послідовність його часткових сум. Тобто, якщо , , то рівномірна збіжність ряду означає, що .

Теорема (необхідна умова рівномірної збіжності ряду) Якщо ряд рівномірно збігається на множині Х, то послідовність його членів рівномірно дістає до 0 на цій множині., тобто .

Теорема (критерій Коші рівномірної збіжності ряду) Для того, що б ряд рівномірно збігався на множині Х, необхідно та достатньо, щоб для будь-якого існував такий номер , що для всіх номерів , всіх р = 0, 1, 2, … та для всіх точок мала місце нерівність .

Теорема (ознака Вейерштрасса рівномірної збіжності функціонального ряду). Якщо числовий ряд збігається та для всіх та всіх n = 1, 2, … виконується нерівність , то ряд абсолютно та рівномірно збігається на множині Х.

Теорема (ознака Дирихлє рівномірної збіжності функціонального ряду)

Ряд збігається рівномірно на множині Х, якщо виконуються наступні умови:

1. послідовність часткових сум ряду обмежена на множині Х, тобто

2. послідовність монотонна при кожному та рівномірно дістає до 0, тобто

Теорема (ознака Абеля рівномірної збіжності функціонального ряду). Ряд збігається рівномірно на множині Х, якщо виконуються наступні умови:

1. ряд рівномірно збігається на множині Х;

2. послідовність обмежена та монотонна на множині Х.

Приклади виконання практичного завдання.

Завдання для студентів

Завдання 1. Знайти області збіжності (абсолютної та умовної) функціонального ряду.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25.

Завдання 2. Знайти області збіжності (абсолютної та умовної) функціонального ряду.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25.

Домашнє завдання: Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т.- Том 2 - Стор. 344, № 1, № 3, Стор. 345, № 6; Стор. 364, № 1, Стор. 365, № 8, Стор. 367, № 13.