матан 3 курс 2013 / практика / Функціональні послідовності і ряди / практичне заняття № 17

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 17

з теми: «Ступеневі ряди. Розклад функцій в ряд Тейлора.»

Модуль КЗН-02.ПР.О.03.11 Функціональні послідовності і ряди

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІI

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Ступеневі ряди. Розклад функцій в ряд Тейлора.

Мета:

• Дидактична: виробити вміння досліджувати на збіжність ступеневі ряди, знаходити радіус збіжності, область збіжності ряду та розкладати аналітичні функції в ряд Тейлора в околі точки х0.

• Виховна: підвищити рівень засвоєння навчального матеріалу, розвивати наукове мислення, усне мовлення студентів.

• Методична: вдосконалювати методику проведення практичних занять з використанням технології проблемного та проектного навчання.

Тип: практичне заняття

Вид: практичне заняття – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: практичні, дедуктивні, проблемно – пошукові, фронтальна, групова робота.

Наочні посібники: -

Роздавальний матеріал: тестові завдання до актуалізації знань, картки - завдання до самостійного виконання студентами.

Обчислювальні засоби: -

Література:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Мотивація навчальної діяльності студентів: вивчити основний математичний апарат – функціональний ряд, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.

3. Актуалізація опорних знань: визначення ступеневого ряду, область збіжності ступеневого ряду, радіус збіжності ступеневого ряду, теорема Абеля, формула Д’Аламбера, формула Коші-Адамара, ряд Тейлора, розкладання елементарних функцій в ряд Тейлора, залишки ряду Тейлора.

• Контроль за підготовкою студентів до практичного заняття:

4. Інструктаж щодо виконання практичної роботи.

5. Видача завдань для виконання роботи.

6. Виконання студентами практичної роботи.

7. Оформлення індивідуальних звітів виконаної роботи, захист практичної роботи.

8. Підведення підсумків. Оцінювання.

9. Домашнє завдання:

Конспект практичного заняття № 17.

Тема: «Ступеневі ряди. Розклад функцій в ряд Тейлора.»

Інструктаж щодо виконання практичного завдання.

Ступеневі ряди.

Визначення. Ступеневим рядом називається ряд виду , числа називаються коефіцієнтами ряду. За допомогою заміни змінного ряд може бути перетворений до виду .

Теорема. (перша теорема Абеля). Якщо ступеневий ряд збігається при , то при будь-якому z такому, що ряд збігається абсолютно.

Наслідки. Якщо ряд розбігається в точці , то при будь-якому z такому, що ряд також розбігається.

Визначення. Число (скінчене чи нескінчене) R ≥ 0 називається радіусом збіжності ряду , якщо для будь-якого z, такого, що , ряд збігається, а для будь-якого z, такого що - розбігається.

Теорема. для будь-якого ступеневого ряду існує радіус збіжності R, ; при цьому, якщо , то в точці z ряд збігається абсолютно, а якщо 0 < r < R, то в крузі ряд збігається рівномірно.

Для радіусу збіжності ступеневого ряду справедлива формула Коші – Адамара:

Якщо існує скінчена чи нескінчена границя , то ,

а якщо існує скінчена чи нескінчена границя , то

Теорема . Якщо функція ƒ розкладається в околі точки в ступеневий ряд з радіусом збіжності R, R > 0, то

1) функція ƒ має на інтервалі похідні всіх порядків, які можуть бути знайдені для ряду почленним диференціюванням, тобто ,

m = 1, 2, …;

2) для будь-якого ; таким чином ряд можна почленно інтегрувати на інтервалі ;

3) ряди , , мають однакові радіуси збіжності.

Нехай ƒ – нескінченно раз диференційована в точці функція , а її ряд Тейлора. sn(х)= - часткова сума порядку n = 1, 2, … ряду та rn(х) = ƒ(х) – sn(х) - залишковий член формули Тейлора для функції ƒ. Таким чином, ƒ(х) = sn(х) + rn(х) – формула Тейлора для функції ƒ.

Теорема (достатня умова розкладання функції в ступеневий ряд). Якщо функція в околі точці має всі похідні, обмежені в сукупності на цім околі, то функція розкладається в ступеневий ряд в деякім околі точки .

Розклад елементарних функцій в ряд Тейлора.

=

Завдання для студентів

Завдання 1. Визначити радіус та інтервал збіжності степеневого ряду та дослідити його поведінку в граничних точках інтервалу збіжності.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25.

Завдання 2. Розкласти функцію в ряд Тейлора.

1. по степенях .

2. по степенях .

3. по степенях .

4. по степенях .

5. по степенях .

6. по степенях .

7. по степенях .

8. по степенях .

9. по степенях .

10. по степенях .

11. по степенях .

12. по степенях .

13. по степенях .

14. по степенях .

15. по степенях .

16. по степенях .

17. по степенях .

18. по степенях .

19. по степенях .

20. по степенях .

21. по степенях .

22. по степенях .

23. по степенях .

24. по степенях .

25. по степенях .

Домашнє завдання: Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. – Том 2 - Стор. 400, №№ 7, 8, 9; стор. 422, №№ 8, 9, 11.