Коэффициент поперечного сжатия.

Опыт показывает, что де­формация продольного растяжения сопровождается уменьше­нием поперечного размера образца, а деформация сжатия — уве­личением поперечного размера. Уменьшение поперечных разме­ров хорошо видно, например, при растяжении резинового шнура или трубки. Изменение поперечных размеров тела при его рас­тяжении или сжатии характеризуют относительным поперечным сжатием (или относительным поперечным растяжением):

где d — поперечный размер тела до деформации, — абсолют­ное значение изменения поперечного размера тела. Величинуназывают такжекоэффициентом поперечного сжатия.

Опыт показывает, что для всех тел из одного и того же ма­териала отношение коэффициента поперечного сжатия к отно­сительной продольной деформации есть величина по­стоянная:

(9)

Эту безразмерную постоянную называют коэффициентом Пуас­сона¹ или модулем поперечного сжатия. Коэффициент Пуассона зависит от материала и наряду с модулем Юнга является важ­ной характеристикой упругих свойств материала. Величины Е и полностью характеризуют упругие, свойства изотропного ма­териала. Это значит, что упругие силы, возникающие, при любой сколь угодно сложной деформации, будут определенным обра­зом зависеть только от двух модулей.

Упругие силы и закон гука при деформации сдвига.

Деформацию сдвига можно получить в параллелепипеде, если одну его грань закрепить, а к противоположной приложить силу F (ее называют скалывающей силой), лежащую в плоско­сти этой грани (рис.2а). Величина (рис.26) есть абсо­лютное смещение (сдвиг) слояАВ относительно неподвижного (закрепленного) слоя MN; — абсолютный сдвиг слоя А'В' и т. д. Из рисунка видно, что абсолютный сдвиг неодинаков для разных слоев: он тем больше, чем дальше сдвигаемый слой на­ходится от неподвижного.

Рис.2

Однако отношение абсолютного сдвигак расстояниюl между сдвигаемым и неподвижным слоем, называемое отно­сительным сдвигом, оди­наково для всех слоев и равно тангенсу угла сдви­га :

При малых углах сдвига и, следовательно,

Таким образом, при ма­лой деформации относи­тельный сдвиг равен из­меренному в радианах углу сдвига.

При сдвиге внутри те­ла возникают упругие си­лы, которые при статической деформации уравновешивают внешнюю (скалывающую) силу:

F_упр= - F

Измеряя абсолютный сдвигверхней граниАВ (рис.2б) при различных значениях скалывающей силы, можно установить, что при малых деформациях абсолютный сдвиг прямо пропорционален скалывающей силе F и расстоянию l смещаемой грани от неподвижной и обратно пропорционален площади S сдвига­емого слоя:

(10)

где — коэффициент пропорциональности, называемыйкоэффи­циентом сдвига. Опыт показывает, что в выбранной системе еди­ниц зависит только от материала образца, являясь, таким об­разом, количественной характеристикой упругих свойств тела к деформации сдвига. На практике чаще имеют дело с величи­нойN, обратной, которую называютмодулем сдвига:

.

Отношение

называют скалывающим усилием. Оно равно силе, действующей на единицу площади поверхности и направленной по касатель­ной (тангенциально) к этой поверхности. Деля (10) на l и

учитывая, что , получим:

(11)

Относительный сдвиг прямо пропорционален скалывающему напряжению.

Очевидно, что при статической и однородной деформации упругое тангенциальное напряжение возникающее в теле, будет по модулю равно, а по направлению противопо­ложно скалывающему усилию:

Так что соотношению (11) можно придать несколько иной смысл:

(12)

При небольших деформациях упругое тангенциальное напряже­ние прямо пропорционально относительному сдвигу.

Выражения (11) и (12) являются математической записью закона Гука при сдвиге. Из них вытекают и определения коэф­фициента и модуля сдвига: коэффициент сдвига численно равен относительному сдвигу, приобретаемому телом при действии на него единичного скалывающего напряжения (1H/м² или 1Па); модуль сдвига измеряется упругим тангенциальным напряже­нием, которое возникает в теле при относительной деформации, равной единице. При = 1 имеем= 45°; следовательно, мо­дуль сдвига равен тангенциальному напряжению, которое воз­никает в теле (при условии, что его свойства остаются неизмен­ными) при сдвиге на угол 45⁰.

В теории упругости доказывается, что модули Е, , N не яв­ляются независимыми, но связаны между собой следующим со­отношением:

, (13)

Это позволяет, как указывалось выше, приводить любую дефор­мацию к двум: либо к растяжению и сжатию с модулями Е и, либо к растяжению (сжатию) и сдвигу с модулямиЕ и N.