L01-EM

18.03.2012

Лекция № 1 Электрическое поле в вакууме

Курс общей физики в 3-х томах, том II. Электричество. / И. В. Савельев. - М.: «Наука», 1970. - 431 с.

2Взаимодействие зарядов. Закон Кулона

•Сила взаимодействия двух точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними

f k	q1q2	(2.1)
	r2

•где k – коэффициент пропорциональности, q1 и q2 – величины взаимодействующих зарядов r – расстояние между ними

1

18.03.2012

3 Взаимодействие зарядов. Закон Кулона

• Закон Кулона можно записать в векторном

виде:
f k q1q2	r	(2.2)
r2	r

•В этом выражении под r следует подразумевать вектор, проведенный от одного заряда к другому и имеющий направление к тому из зарядов, к которому приложена сила f (рис. 2).

4			Электрическое поле.
			Напряжённость поля
						1		q	r
			f qпр								(2.3)
						4 0		r2
									r
		•	где коэффициент k = 1/(4πε0);
			ε0 – электрическая постоянная;
			q – неизменный заряд, который создает поле
			E	f							(2.4)
				q
				пр

• Векторную величину (2.4) называют напряженностью электрического поля в данной точке.

2

18.03.2012

5Электрическое поле. Напряжённость поля

•Направление вектора Е совпадает с направлением

силы f, действующей на положительный заряд qпр. В

случае отрицательного заряда qпр, направление

вектора Е и вектора силы f противоположны.

•С учетом формул (2.3) и (2.4) можно написать:

E	1		q	r	(2.5)
	4 0		r2
				r

•Направлен вектор Е вдоль радиальной прямой,

проходящей через заряд q и данную точку поля, от

заряда q, если он положителен, и к заряду q, если он

отрицателен

6Суперпозиция полей. Поле диполя

•Напряженность системы зарядов равна векторной

сумме напряженностей полей, которые создавал бы

каждый из зарядов системы в отдельности:

E E1 E2 Ei (2.6)

•Электрическим диполем называется система двух

одинаковых по величине разноименных точечных зарядов +q и –q, расстояние между которыми l

значительно меньше, чем расстояние до тех точек, в

которых определяется поле системы.

Прямая, проходящая через оба заряда, называется

осью диполя.

3

18.03.2012

7Суперпозиция полей. Поле диполя

•Найдем напряженность поля на оси

диполя, а также на

прямой, проходя-

щей через центр

диполя и перпендикулярной к его

оси (рис. 4).

•Положение точек

будем характеризо-

вать их расстояни-

ем r от центра диполя. Напомним, что r >> l.

8Суперпозиция полей. Поле диполя

•На оси диполя векторы Е+ и Е– имеют противоположные направления. Поэтому результирующая напря-

женность Е║ будет равна по модулю разности векторов Е+ и Е–:

																	l		2						l			2
	1			q					q					1		r							r
																	2								2
E															q
	4 0				l	2				l				4 0				l		2				l		2
II											2
			r					r								r						r
					2					2								2						2

•Пренебрегая в знаменателе l/2 по сравнению с r,

получаем:

	E		1 2ql			1 2 p		(2.7)
			4 0 r3			4 0 r3
	II

4

18.03.2012

9Суперпозиция полей. Поле диполя

•В (2.7) через р обозначено произведение ql, называемое электрическим моментом диполя.

•Для точек на прямой, перпендикулярной к оси диполя,

Е+ и Е– имеют одинаковые модули, равные:

E	E			1				q				1 q			(2.8)
				4 0				l		2		4 0 r2
						r	2
									2

• Из подобия равнобедренных треугольников,

опирающихся на отрезок l и на вектор Е (рис.4),

следует, что

10Суперпозиция полей. Поле диполя

E

l

l

;

E

1 ql

1 p

(2.9)

E

r

l

4 0 r3

4 0 r3

r

2

2

2

• Можно показать, что напряженность поля диполя в

произвольной точке определяется формулой

	E	1 p			1 3cos2	(2.10)
		4 0 r3

•где α – угол между осью диполя и направлением на

данную точку (рис. 5). Подстановка в (2.10) α = 0 (или α = π) и α = π/2 приводит к формулам (2.7) и (2.9)

5

18.03.2012

11Суперпозиция полей. Поле диполя

•Напряженность показанной на рис. 6, а системы зарядов, называемой квадруполем, убывает с расстоянием еще быстрее – как 1/r4. Напряженность

октуполя (рис. 6, б) убывает как 1/r5

12Суперпозиция полей. Поле диполя

•Момент диполя следует рассматривать как вектор р.

•Вектору р приписывается направление от

отрицательного заряда к положительному (рис. 7).

•Если ввести радиус-вектор l, проведенный от –q к +q,

то момент диполя можно представить в виде

p ql

(2.11)

6

18.03.2012

13Линия напряженности. Поток вектора напряженности

•Густота линий выбирается так, чтобы количество

линий, пронизывающих единицу поверхности

перпендикулярно поверхности, было равно значению

вектора Е.

•Линии Е точечного заряда представляют собой

радиальные прямые.

E 4 1 0 rq2

• Следовательно, полное число линий N равно

	1 q			4 r2		q	(2.12)
	4 0 r2					0

14Линия напряженности. Поток вектора напряженности

•Если площадка dS ориентирована так, что нормаль к ней образует с вектором Е угол α, то количество линий, пронизывающих площадку, будет численно равно:

EdS cos EndS

(2.13)

•где Еn – составляющая вектора Е по направлению нормали к площадке

N численно равно En dS

S

• где выражение для Ф называется потоком вектора Е

7

18.03.2012

15Линия напряженности. Поток вектора напряженности

•В тех местах, где вектор Е

направлен наружу (т. е. линия Е

выходит из объема, охватывае-

мого поверхностью), Еn и соответственно dФ будут

положительны;

•в тех же местах, где Е направлен

внутрь, (т. е. линия Е входит в

объем, охватываемых поверх-

ностью), Еn и соответственно dФ

будут отрицательны (рис. 10)

16Теорема Гаусса

•Можно показать, что, как и для сферической поверхности, для поверхности любой другой формы, если она замкнута и заключает внутри себя точечный

заряд q, поток вектора Е также будет равен q/ε0

(см. ур. 2.12)

8

18.03.2012

17 Теорема Гаусса

• Пусть внутри замкнутой поверхности заключено

нескольких точечных зарядов. Поток вектора Е по

определению равен интегралу по поверхности

EndS	(2.15)
S
En En1 En2 Eni	(2.16)

• Где Eni – нормальная составляющая напряженности

поля, создаваемого i-м зарядом в отдельности

	E dS	qi
	ni	0
S

18 Теорема Гаусса

EndS	1	qi	(2.17)
S	0

• Доказанное утверждение носит название теоремы Гаусса. Она гласит: поток вектора напряженности

электрического поля через замкнутую поверх-

ность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε0.

	E dS	1	dV	(2.18)
	n
S		0 V

9

18.03.2012

19Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

•Суммарный поток через поверхность оснований

2Е S

•Внутри поверхности

заключен заряд σΔS,

где σ – поверхностная плотность заряда

2E S S

0

	E		(2.19)
		2 0

20Поле бесконечного заряженного цилиндра

•Для оснований охватывающего цилиндра En = 0, для

боковой поверхности En = E(r).

10