РГР Построение тел

1

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

ПОСТРОЕНИЕ ТЕЛ ПЕРЕСЕЧЕНИЕМ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Новосибирск 2006

2

I. Теоретические вопросы для защиты типового расчета

1.Понятие о поверхности, ее уравнение в пространственной системе координат.

2.Кривая в пространстве как линия пересечения двух поверхностей.

3.Понятие нормального вектора, его координаты. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку.

4.Общее уравнение плоскости.

5.Координатные плоскости.

6.Построение плоскости по ее следам на координатных плоскостях.

7.Частные случаи общего уравнения плоскости: случаи параллельности осям координат.

8.Частные случаи общего уравнения плоскости: случаи перпендикулярности осям координат.

9.Уравнение плоскости, проходящей через начало координат.

10.Уравнение плоскости в отрезках на осях.

11.Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. 12.Угол между двумя плоскостями.

13.Условия параллельности двух плоскостей.

14.Условие перпендикулярности двух плоскостей.

15.Линия пересечения двух плоскостей.

16.Поверхности второго порядка. Общее уравнение параллельно смещенных поверхностей второго порядка.

17.Главные и дополнительные сечения.

18.Сфера. Уравнения сферы, параллельно смещенной сферы. 19.Эллипсоид. Канонические уравнения эллипсоида, параллельно

смещенного эллипсоида. Частные случаи. Эллипсоид вращения.

3

20.Способы построения сферы и эллипсоида по главным сечениям, по параллельным сечениям.

21.Однополостной гиперболоид. Свойство линейчатых поверхностей.

22.Двуполостной гиперболоид.

23.Эллиптический параболоид. Оптическое свойство параболоида вращения.

24.Гиперболический параболоид. Свойство линейчатых поверхностей.

25.Конус второго порядка.

26.Цилиндрические поверхности. Цилиндрические поверхности второго порядка. Отличительный признак уравнений цилиндрических поверхностей.

4

II.Указания к выполнению типового расчета

1.Титульный лист выполняется на формате А-4. Название – “Построение тел пересечением поверхностей”. Ниже указать номер вашего варианта, ниже перечислить номера всех пяти тел вашего варианта, взятые из таблицы выбора. Эти номера указывать также в тексте при выполнении работы.

2.Для выбора варианта студент должен взять из таблицы выбора вариантов строку под номером, соответствующем его номеру в журнале группы (левый столбец), и колонку, закрепленную за его группой, и выписывает пять соответствующих чисел, которые являются номерами вариантов задания. Затем нужно выписать уравнения поверхностей из клеток под этими номерами.

3.Прежде, чем начинать построение поверхностей, нужно привести их уравнения к каноническому виду, если поверхности смещены.

4.Каждое из пяти тел строить на отдельном листе с одной стороны.

5.В верхней половине листа в мелком масштабе построить отдельно каждую поверхность, записать ее уравнение и название.

6.В нижней половине листа в крупном масштабе построить тело, сохранив вспомогательные тонкие линии, а само тело обвести сплошными контурными линиями (тело прозрачно, видны только ребра).Допускается невидимые линии обводить штриховыми контурными.

7.Обозначить систему координат и отметить координаты характерных точек.

8.Использовать правую систему координат, причем по оси 0x масштаб должен быть вдвое меньше, чем по осям 0y и 0z.

9.Ответить письменно на два теоретических вопроса (раздел I), номера которых оканчиваются той же цифрой, что и номер варианта.

5

III. Таблица выбора вариантов

			I					II					III
№	1	2	3	4	5	1	2	3	4	5	1	2	3	4	5
1	1	31	60	88	117	1	30	59	98	137	29	58	60	86	116
2	3	33	62	90	119	2	31	61	100	139	28	57	62	88	118
3	5	35	64	92	121	3	32	63	102	141	27	56	64	90	120
4	7	37	66	94	123	4	33	65	104	143	26	55	66	92	122
5	9	39	68	96	125	5	34	67	106	135	25	54	68	94	124
6	11	41	70	98	127	6	35	69	88	138	24	53	59	96	126
7	13	43	72	100	129	7	36	71	90	140	23	52	61	98	128
8	15	45	74	102	131	8	37	73	92	142	22	51	63	100	130
9	17	47	76	104	133	9	38	75	94	144	21	50	65	102	132
10	19	49	78	106	135	10	39	77	96	125	20	49	67	104	134
11	21	51	80	108	137	11	40	79	109	117	19	48	69	106	136
12	23	53	82	110	139	12	41	81	111	119	18	47	71	108	138
13	25	55	84	112	141	13	42	83	113	121	17	46	73	110	140
14	27	57	86	114	143	14	43	85	116	123	16	45	75	112	142
15	2	30	59	116	85	15	44	87	115	116	15	44	77	114	144
16	4	32	61	89	118	16	45	60	99	128	14	43	70	89	117
17	6	34	63	91	120	17	46	62	101	130	13	42	72	91	119
18	8	36	65	93	122	18	47	64	103	132	12	41	74	93	121
19	10	38	67	95	124	19	48	66	105	134	11	40	76	95	123
20	12	40	69	97	126	20	49	68	107	136	10	39	78	97	125
21	14	42	71	99	128	21	50	70	89	118	9	38	79	99	127
22	16	44	73	101	130	22	51	72	91	120	8	37	81	101	129
23	18	46	75	103	132	23	52	74	93	122	7	36	63	103	131
24	20	48	77	105	134	24	53	76	95	124	6	35	85	105	133
25	22	50	79	107	136	25	54	78	97	126	5	34	87	107	135
26	24	52	81	109	138	26	55	80	108	127	4	33	80	109	137
27	26	54	83	111	140	27	56	82	110	129	3	32	82	111	139
28	28	56	85	113	142	28	57	84	112	131	2	31	84	113	141
29	29	58	87	115	144	29	58	86	114	133	1	30	86	115	143

6

IV. Варианты заданий

1.	2.		3.	4.	5.	6.
2x-y-z=0	5x+2y+5z=		5x+4y+5z=	2x+3y+z=	2x+5y+z=7	5x+3y+z=5
5x+2y+3z=20	=12		=20	=5	x=1, y=1	y=1, y=0
z=0, x=0, y=0	x=0,8; y=4		x=2y, x=0	x=0,5; y=0	x=0, y=0	x=0, z=0
	x=0,	y=0,	z=0	x=0; y=1	z=0
	z=0			z=0
7.	8.		9.	10.	11.	12.
2x-y+3z=0	3x+y=6		x+y+2z=6	x+2y-3z=0	2x+3y+z=6	3x+2y=12
y=3, x=0,	3x+2y=12		x+y+z=3	z=2, x=0	y+2z=4	3x+y-6=0
z=0	y=2; y=1,5;		x=0, y=0	y=0	x=0, y=0	z=0; x=y
	z=3, z=0		z=0		z=0	z=3, y=0
13.	14.		15.	16.	17.	18.
2x+3y+z=5	x+2y+z=6		x+2y+z=6	x=1; x=3	x+y+z=6	3x+2y=12
y=0,5; y=1	y+z=3		y+z=3	y=x; y=0	3x+y=6	3x+y=6
x=0; z=0	x=0; y=0		x=0; y=0	z=1; z=2	x=0; y=0	y=1/2
			z=0		z=0	z=0; z=3
19.	20.		21.	22.	23.	24.
3x+2y=12	5x+4y+5z=		x=0, x=6	y=x, x=0	x=0, z=3	3x+2y+2z=
3x+y=6	=20		y=0, y=z	y=5, z=2	y=0, z=0	=12;
x=y, z=0	x=2,4; x=0		z=2, z=4	z=4	x ≤5, x ≤ 2	3x+y=6
z=3	y=0; z=0				y ≤5 ,y ≤ 2	y=1, z=0
	z=2
25.	26.		27.	28.	29.	30.
3x+2y+2z=12	x+z=3		y+z=3	x+y+z=4	z= x 2	y= x 2
3x+y=6,	y=2, x=0		y=x, x=6	x=3, y=2	y=4-z	y=1, z=2
z=0,y≥x	y=0, z=0		y=1, z=0	x=0, y=0	y=0	z=0
				z=0
31.	32.		33.	34.	35.	36.
z=3 x 2	2x+y=4		x 2 + y 2 =16	x 2 + y 2 =16	x 2 + y 2 = 25	x 2 + y 2 = 25
x+y=1	z=4- x 2		z=0, y ≥ 0	z≥0; y≥0	3z+4y ≥12	3x+4y ≤12
y=0, z=3	z=0, x=0		y+z=4	y+z=4	z=6, z=0	z ≥ 0, y ≥ 0
	y=0			x≥0	y=0
37.	38.		39.	40.	41.	42.
x 2 + y 2 = 25	y =	25 −x 2	x + 2 y = 4	x = y 2 , y = 2	x+y+z=4	x+y+z=4
y=4; z=3	y = 4, z ≤ 3x		x = y 2 , y = 2	z = 5, x = 0	x 2 + y 2 = 4	x 2 + y 2 ≥ 4
y ≥ 0, z ≥ 0	z = 0, y = 0		z = 5, z = 0	z=0	z ≥1, x ≥ 0	z =1, x = 0
					y ≥ 0	y = 0, z = 0

7

43.	44.	45.	46.
x + y + z = 4	x + y = −2	x + y =5	y = − x
x2 + y 2 = 4	y = −3x2	y2 = 2x	x + y = 2
z = 2; x ≥0	z =0; z =5	x =0; y = 4	y =0; z =0
y ≥0; z ≥0		z = 2; z =0	z = 2

49.	50.	51.	52.
x +2 y =6	x +2 y =8	x2 + y2 + z 2 ≤9 x2 + y 2 =8
y =3x2	x = y 2	x2 + y2 = z −1	y 2 = 2 −z
x ≥0; z =3	z =5; z =0	x ≥0; z =0	y ≥0; z ≥0
z ≥0

55.	56.	57.							58.
y2 =4 −z	x2 + y2 =8x		x y z						z = x2 −4x −2
				+		+		=1
y ≥2x; y ≤1	x2 +2z =8		2		2		5		z =5; y = 4
y =−2x; z =0	x + z =8	4x2 + y 2 = 4z							y =0
			x ≥0; y ≥0

61.	62.							63.	64.
3x +5z =30		x y z						x2 + y2 + z2 = x2 + y2 + z2 =
			+		+		=1
y2 = x; y ≥0		2		4		5		= 25	= 4
x ≤8; z ≥0	4x2 + y 2 = 4z							x =1; x = 2	x =1; z =1
		x ≥0; y ≥0						z =0; y ≥1	z ≥0; x ≥0;
		z ≥0; y = 2						y ≤ 2	y ≥0

	67.	68.	69.	70.					z 2
	x2 + y 2 =16	2z = x2 + y2	x2 + y 2 + z 2 = 2z	x	2	+ y	2
								+		=1
	x + y + z = 2	y + z = 4	x2 + y 2 = z 2						3
	z =0; z = 4			z =0; z =1
	x =0; y =0
	x =3
	73.	74.	75.	76.
	x2 + y 2 =5x	x2 + y 2 = 4x	x2 + y2 +z2 =25	x2 + y2 + z2 =
	x + y + z =5	x + y + z = 4	x ≥ y; z ≥1	=16
			z ≤3; y ≥0
	z ≥0	z ≥0; y ≥0		y ≥ x; z =3
				z = 0
	79.	80.	81.	82.
	x2 + y 2 −2x − z 2 =4 − y		x2 + y 2 + z 2 = 25 x2 + y2 + z2 =
	−2 y +1 =0	x2 + z 2 =9	y =0; y = 2	=9
	x ≤1; y ≤1	y =0	z =0; z = 2	z2 + y2 ≥ 4
	z =5; z =0		x = −2	x = 0

47.

z= y 2 −4 y −5 x = 2; x = −2

z = 5

53.

x2 + y 2 =9 y 2 = 2 −z z =0

59.

x2 + y2 = z x = y 2

z =3; x =0

65.

x2 = 2 y y + z =1

2 y + z = 2

71.

y = x2 + z 2 x2 + z 2 = 4 y = 4

77.

x2 + z 2 =5 x2 = 2 − y z ≥0; y ≥0

83.

x + y + z =6 z 2 + y 2 ≥6 x ≥0; y =0 z =0

48.

x + y =5 y 2 = 2x

z ≥0; y ≥0 z = 2

54.

x2 + y 2 =1 y = − z

z =0

60.

2x + 4y + 5z =1 4x2 + y 2 =4z x ≥0; y ≥0

z =2

66.

x2 + y 2 = 4 x2 + y 2 ≥1 y + z = 2

z =0

72.

z =4 − y2 2 y = x2

z =0

78.

x2 + z 2 = 2 z 2 =3 − y z ≥0; x ≥0 y ≥0

84.

x + y + z = 4 x2 + y 2 ≥ 4 x ≥0; y ≥0 z ≥0

8

85.

86.

87.

88.

89.

90.

x + y + z = 4

x+y=2

x +3y +2z =3

x2 + y 2 =10x

x2 + y 2 =4

x 2 + y 2 = z −3

z 2 + y 2 ≤ 4

y≤ 2x2

x ≤3y2

x +2z =10

z =4 −x2

x 2 + y 2 =3

x =0; y =0

z=5, z=0

x =0; z =0

z =0

x ≥0; y ≥0

z = 0

y=0

z =0

z ≥0

91.

92.

93.

94.

95.

96.

x + y =1

x2 + y2 =2

x2 + y 2 =6x

x2 + y 2 =2z

x2 + y2 = z −1

z 2 + y 2 =2x

z =3x2

z =3 −x2

z 2 =6 −x

y =3x2

y =3x2

x =5; z =0

y =4; z =3

x ≥0; y ≥0

y ≥0; z ≥0

y =3; z =3

y =3; z =3

z ≥0

z =0

z =0

97.

98.

99.

100.

101.

102.

z

=

5x

2

+

y

2

y2 + z 2 =2x

x + y + z =6

x + y + z =5

x =−

y

x + y =1

z 2 + y 2 =6

x2 + z 2 ≤4

z 2 + y 2 = z

y =2x2

x =5; x =2

3

y =1; z =3

x =8; y ≥0

x =0; y ≥0

x −2 y =−2

x =0; y =0

z ≥0

z =0

x =0; z =0

z =0

z =5

103.

104.

105.

106.

107.

108.

x2 + y 2 = z

z = x2 −4x +6

x2 + y 2 = z

z = y 2 ; z =3

x2 + y 2 =1

x −2 y +2 =0

y =2x

z =5; y = 4

x ≥ y 2

x =5; x =0

y 2 = z

y = x2 ; y =5

y ≥ x; z =3

y =0

z =3

y =1; y =0

z =0

z = 2; x =0

z =0

109.

110.

111.

112.

113.

114.

z =2 −x − y

x =0

y2 =9 −z

z=2x2+y2

x2 + y2 + z 2 ≤16

x2 + y 2

=16

y = 25 −x2

y = 2x

y=x2

y ≥ x; z ≥2

x2 + y 2 + z 2 ≤1

x =0; y ≥0

z = 2 −x − y

y = −2x

y=1, z=2

x =0

z ≤ 2; y ≤ x

z =0; z =2

y =0; y =3

y ≥1; z =0

z =0; z = 2

115.

116.

117.

118.

119.

120.

x + y + z = 4

2x + y + z =5

y + z =5

x +2 y + z =3

x + y + z = 4

2x +3y +4z = 4

x =3y 2

y =3x2

y =3x2

x =2 y2

y =3x2

y = 2x2

x =0; z =0

z = 2; y =1

y =0; z =0

z =0

y =0; z =0

y =1; z = 2

z =0; x =0

x =0; z =0

121.

122.

123.

124.

+2 y −

125.

+ z

≤ 25

126.

x + y +2z = 4

x = 2 y − y 2

x = − 2 y − y 2

x

2

+ y

2

x

2

+ y

2

2

x2 + y 2 + z 2 ≤16

y = 2x

2

x =2; y =2

x = −2; y = 2

−2x +1 =0

x2 + y 2 ≤ 4

z 2 + y 2 ≤1

y ≥0

x ≥0

z =1; x =0

z =2; z =0

z = 2; z =0

x = 2; y = 2

z =0

y =0

y =0

z = 2; z =0

9

	127.	128.					129.	130.	131.	132.
	x2 + y 2 + z 2 ≤16	x2 + y 2 + z 2 = 25					x2 + y2 + z2 ≥	x2 + y2 + z 2 ≤25	x2 + y 2 + z 2 =9	x2 + y2 + z 2 ≤25
	x2 + y 2 ≥ 4	x	2	+ y	2	= z	≥ 25, z=7	z = x2 + y 2	3x +2 y =6	3x +2z ≥6
										x ≥0; z ≥0
	z ≥0	x ≥0; y ≥0					x2 + y2 ≤ z	z =0	x ≥0; y ≥0
		z ≥0					x ≥ 0, y ≥ 0
	133.	134.					135.	136.	137.	138.
	x2 + y 2 + z 2 =9	x2+y2+z2=					x2 + y2 + z2 =	x2 + y 2 + z 2 ≤16	x2 + y 2 + z 2 = 25	x2 + y 2 + z 2 ≤9
	3x +2z ≤6	=4, z ≥ 0					=9	x2 + y 2 ≤ 4	z − y ≤0	x ≥ y 2
	z ≥0	x2 + y2 = 2x					2z +3y ≥6		z =0	y ≥0; z ≥0
							x ≥0; z ≥0
	139.	140.					141.	142.	143.	144.
	z = x2 + y2	2z=x2+y2					x2 + y2 + z2 ≤	x2 + y 2 = z	x2 + y 2 = z	x2 + y 2 =6 y
	x + y ≤2	x + y ≤ 2					≤16	y ≥ x2	x ≤ y 2	z 2 =6 − y
	z =2	z = 2					z ≥0	z = 2	z =3	z ≥0
							y ≥ −2
	x2 + y2 + z 2 ≤16
	y ≥3x2
	z ≥0

10

Приложение А

3x + 2y + 3z = 12

3x + y = 6

x = y; y = 0; z = 0

Все поверхности есть плоскости