РГР Аналитическая геометрия

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Задание 1

Даны вершины треугольника ABC. Найти: а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты СН;

в) уравнение медианы AM;

г) точку N пересечения медианы AM и высоты СН;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; е) расстояние от точки С до прямой АВ.

Вариант 1

А(–2; 4), В(3; 1),С(10; 7).

Вариант 2

А(–3; –2), В(14; 4), С(6; 8).

Вариант 3

А(1; 7), В(–3; –1), С(11; –3).

Вариант 4

А(1; 0), В(–1; 4), С(9; 5).

Вариант 5

А (1; –2), В(7; 1), С(3; 7).

Вариант 6

А(–2; –3), В(1; 6), С(6; 1).

Вариант 7

А(–4; 2), В(–6; 6), С(6; 2).

©Н.М. Пекельник

- 3 -

Вариант 8

А(4; –3), В(7; 3), С(1; 10).

Вариант 9

А(4; –4), В(8; 2), (3; 8).

Вариант 10

А(–3; –3), В(5; –7), С(7; 7).

Вариант 11

А(–3; –3), В(5; –7), С(7; 7).

Вариант 12

А(–4; 2), В(8; –6), С(2; 6).

Вариант 13

А(–5; 2), В(0; –4), С(5; 7).

Вариант 14

А(4; –4), В(6; 2), С(–1; 8).

Вариант 15

А(–3; 8), В(–6; 2), С(0; –5).

Вариант 16

А(6; –9), В(10; –1), С(–4; 1).

Вариант 17

А(4; 1), В(–3; –1), С(7; –3).

Вариант 18

А(–4; 2), В(6; –4), С(4; 10).

Вариант 19

А(3; –1), В(11; 3), С(–6; 2).

©Н.М. Пекельник

- 4 -

Вариант 20

А(–7; –2), В(–7; 4), С(5; –5).

Вариант 21

А(–1; –4), В(9; 6), (–5; 4).

Вариант 22

А(10; –2), В(4; –5), С(–3; 1).

Вариант 23

А(–3; –1), В(–4; –5), С(8; 1).

Вариант 24

А(–2; –6), В(–3; 5), С(4; 0).

Вариант 25

А(–7; –2), В(3; –8), С(–4; 6).

Вариант 26

А(0; 2), В(–7; –4), С(3; 2).

Вариант 27

А(7; 0), В(1; 4), С(–8; –4).

Вариант 28

А(1; –3), В(0; 7), С(–2; 4).

Вариант 29

А(–5; 1), В(8; –2), С(1; 4).

Вариант 30

А(2; 5), В(–3; 1), С(0; 4).

©Н.М. Пекельник

- 5 -

Задание 2

Решить задачу

Вариант 1

Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3х–2у–7=0 и х+3у–6=0 и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3.

Вариант 2

Найти проекцию точки А(–3; –2) на прямую, проходящую через точки В(2; –3) и С(–5; 1).

Вариант 3

Даны две вершины треугольника ABC: А(–4; 4) и В(4; –12) и точка М(4; 2) пересечения его высот. Найти вершину С.

Вариант 4

Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, равный 2, и проходящей параллельно прямой

2у–х=3.

Вариант 5

Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2; –3) и точку пересечения прямых 2х–у=5 и х+у=1.

Вариант 6

Доказать, что четырехугольник ABCD — трапеция, если

А(3; 6), В(5; 2), С(–1; –3), D(–5; 5).

©Н.М. Пекельник

- 6 -

Вариант 7

Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(3; 1) перпендикулярно к прямой ВС, если В(2; 5), C(1; 0).

Вариант 8

Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(–2; 1) параллельно прямой MN, если М(–3; –2), N(1; 6).

Вариант 9

Найти точку, симметричную точке М(2; –1) относительно прямой х–2y+3=0.

Вариант 10

Найти точку О пересечения диагоналей четырехугольника

АВСD, если А( – 1; –3), В(3; 5), С(5; 2), D(3; –5).

Вариант 11

Через точку пересечения прямых 6x–4у+5=0, 2х+5у+8=0 провести прямую, параллельную оси абсцисс.

Вариант 12

Известны уравнения стороны АВ треугольника АВС

4х+у=12, его высот ВН: 5 х– 4 у= 12 и AM: x+у=6. Найти уравнения двух других сторон треугольника АВС.

Вариант 13

Даны две вершины треугольника АВС: А(–6; 2), В(2; –2) и точка пересечения его высот Н( 1 ; 2). Найти координаты точки М пересечения стороны АС и высоты ВН.

©Н.М. Пекельник

- 7 -

Вариант 14

Найти уравнения высот треугольника ABC, проходящих через вершины А и В, если А( – 4; 2), В(3; –5), С(5; 0).

Вариант 15

Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, проведённых через середины сторон треугольника, вершинами которого служат точки

А(2; 3), В(0; –3), С(6; –3).

Вариант 16

Составить уравнение высоты, проведенной через вершину А треугольника АВС, зная уравнения его сторон: АВ: 2x–y–3=0, AC: x+5y–7=0, BC: 3x–2y+13=0.

Вариант 17

Дан треугольник с вершинами А(3; 1), В(–3; – 1 ) и С(5; –12). Найти уравнение и вычислить длину его медианы, проведенной из вершины С.

Вариант 18

Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых

2х+5у–8=0 и 2х+3у+4=0.

Вариант 19

Найти уравнения перпендикуляров к прямой 3х+5у–15=0, проведенных через точки пересечения данной прямой с осями координат.

©Н.М. Пекельник

- 8 -

Вариант 20

Даны уравнения сторон четырёхугольника: х–у=0, х+3у=0, х–у–4=0 и 3х+у–12=0. Найти уравнения его диагоналей.

Вариант 21

Составить уравнения медианы СМ и высоты СК

треугольника АВС, если А(4; 6), В(–4; 0), С(–1; – 4).

Вариант 22

Через точку Р(5; 2) провести прямую: а) отсекающую равные отрезки на осях координат; б) параллельную оси ОX; в) параллельнуюосиОY.

Вариант 23

Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(–2; 3) и составляющей с осью ОX угол: а) 45°, б) 90°,

в) 0°.

Вариант 24

Какую ординату имеет точка С, лежащая на одной прямой с точками А(–6; –6) и В(–3; –1) и имеющая абсциссу 3?

Вариант 25

Через точку пересечения прямых 2х–5у–1=0 и х+4у–7=0 провести прямую, делящую отрезок между точками А(4; –3) и В(–1; 2) в отношении 2:3.

©Н.М. Пекельник

- 9 -

Вариант 26

Известны уравнения двух сторон ромба 2х–5у–1=0 и 2х–5у–34=0 и уравнение одной из его диагоналей х+3у–6=0. Найти уравнение второй диагонали.

Вариант 27

Найти точку Е пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки А(–3; 1), В(7; 5) и

С(5; –3).

Вариант 28

Записать уравнения прямых, проходящих через точку

А( – 1; 1) под углом 45° к прямой 2х+3у=6.

Вариант 29

Даны уравнения высот треугольника ABC: 2x–3у+1=0, х+2 у+ l = 0 и координаты его вершины А(2; 3). Найти уравнения сторон АВ и АС треугольника.

Вариант 30

Даны уравнения двух сторон параллелограмма х–2у=0, х–у–1=0 и точка пересечения его диагоналей М(3; –1). Найти уравнения двух других сторон.

©Н.М. Пекельник

- 10 -

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

Задание 1

Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (А, В – точки, лежащие на кривой, F – фокус, 2c – фокусное расстояние, а – большая (действительная) полуось, b – малая (мнимая) полуось, ε – эксцентриситет, y = ± k x – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой).

Задание 2

Записать уравнение окружности, проходящей через указанные точки и имеющей центр в точке А.

Задание 3

Составить уравнение линии, каждая точка М которой удовлетворяет заданным условиям.

Задание 4

Построить кривую, заданную уравнением в полярной системе координат.

Задание 5

Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями.

©Н.М. Пекельник

- 11 -

Вариант 1

1.a) b=15; F(–10; 0); б) a=13; ε = 1413 ; в) D: x= – 4.

2.Вершины гиперболы 12x2–13y2=156; A(0; –2).

3.Отстоит от прямой х= – 6 на расстоянии, в два раза большем, чем от точки А(1; 3).

4.ρ = 2sin 4ϕ .

5.			3	t	0 ≤ t ≤ 2π .
	x = 4cos
		3
	y = 4sin			t

Вариант 2

1.а) b=2; F(4 2 ;0); б) a=7; ε = 785 ; в) D: x=5.

2.Вершины гиперболы 4x2–9y2=36; A(0; 4).

3.Отстоит от прямой х= – 2 на расстоянии, в два раза большем, чем от точки А(4; 0).

4.ρ = 2(1 −sin 2ϕ) .

5.			3	t		0 ≤ t ≤ 2π .
	x = 2cos
		3
	y = 2sin			t
						Вариант 3
1.	а) А(3;0); В(2;				5	); б) k=	3	; ε =	5	; в) D: y = –2.
					3				4
					4

2. Фокусы гиперболы 24y2–25x2=600; A(0; –8).

©Н.М. Пекельник

- 12 -