Тема 2 «Средние величины»

Средней величиной в статистике называют обобщающий показатель, который характеризует типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражает величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

Вычисление среднего – один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отражает то общее, что характерно (типично) для всех единиц совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайностей и необходимости. При исчислении средних величин в силу действия больших числе случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления.

Средняя отражает характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений, характеризует эти уровни и их изменения во времени и пространстве.

Средняя – сводная характеристика закономерностей процесса в тех условиях, в которых он протекает.

Для того, чтобы средний показатель был действительно типизирующим, он должен определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц.

Виды средний величин: арифметическая (простая и взвешенная), гармоническая (простая и взвешенная), геометрическая, квадратическая, мода, медиана и др. Самой распространенной является средняя арифметическая.

Средняя арифметическая простаяприменяется, когда имеются несгруппированные индивидуальные значения признака и равняется простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее количество этих значений.

Х_ар–Х₁ + Х₂ + … + Х_n =∑ Х

nn(рассчитать среднее количество изготовленных деталей каждым из 15 рабочих , если дан ряд индивидуальных значений признака 21, 20, 20, 19, 21, 18, 22, 20, 21, 20, 18,19,20 ( 297 : 15= 19,8 = 20)

Средняя арифметическая взвешеннаявычисляется тогда, когда значения осредняемого признака повторяются по нескольку раз

Х_ар=Х₁f₁ + X₂f₂ + … + X_nf_n=∑ Хf

F_{1 +}f₂+…. +f_n ∑f, гдеf– веса ( частота повторения одинаковых признаков)

∑ Хf– сумма произведений величины признаков на их частоты

∑ f- общая численность единиц совокупности таблица 1

Выработка деталей	Число рабочих ( веса)	X f
18 19 20 21 22	2 4 5 3 1	36 76 100 63 22
ИТОГО	15	297

Подставим в формулу. 36+76+63+22/ 15 = 20

Средняя квадратическаяпростая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число. ( для вычисления среднего размера, выраженного в квадратных единицах измерения. (Например, средняя величина стороны квадратных участков и т.д.)

Средняя гармоническая взвешеннаяприменяется, когда известны варианты Х и произведения хf, а частотаfнеизвестна.

Средняя гармоническая тесно связана со средней арифметической, является ее преобразованной формулой и тождественна ей.

Обозначим xfчерезw, тогдаf=w/x, следовательно, средняя гармоническая взвешенная =∑ w

∑ w/x

Определим среднюю цену на 1 кг яблок

№ магазина	Исходные данные		Расчетные данные
	Цена, руб./кг.. (х)	Выручка (w)	F = w/x
1	17	3060	3060:17 = 180
2	20	2800	2800:20 = 140
3	24	1920	1920: 24 = 80
итого		7780	400

Средняя цена = выручка от реализации/ количество реализованной продукции

Количество реализованной продукции = выручка : цену

3060 + 2800 + 1920

3060/17 + 2800/20 + 1920/24 = 7780 : 400 = 19,45

В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице ( индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу) применяется средняя гармоническая простая Х _гар.=1 + 1 +...+1 n

1/X₁+ 1/X₂+ …+1/Xn= ∑ 1/X, где 1/Х – отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу,n– количество вариантов.

Средняя геометрическая – корень степени nиз произведений отдельных значений – вариантов признака Х

Особым видом величин являются структурные средние – мода и медиана

Мода М₀– величина признака, наиболее часто встречающаяся в данной совокупности. Например в таблице 1 наибольшей частотой является число 5. Этой частоте соответствует модальное значение признака , т.е. выработка деталей за смену. Мода свидетельствует о том, что в данном примере чаще всего встречаются рабочие, изготавливающие за смену 20 деталей.

В интервальном ряду мода определяется по формуле

f_мо – f_мо-1

М₀= Х_м0 +I_мо(f_мо–f_мо-1) (f_мо–f_мо+1)

Где - Х_м0 – нижняя граница модального интервала,

I_мо– модальный интервал

f_мо,f_мо-1,f_мо+1– частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах ( соответственно)

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте

Группы предприятий ( по стоимости ОПФ)	Число предприятий F	Середины интервалов Х
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24	2 6 10 4 3	15 17 19 21 22
ИТОГО

10 - 6

М_о = 18 + 2 (10- 6)+ ( 10 – 4) – 18,8

Медиана М_е– это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные части – со значениями признака меньше медианы и со значением признака больше медианы. Чтобы отыскать медиану необходимо найти значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда.

Для нечетного ряда номер медианы вычисляется по формуле Ме = n+1 /2 (n– число членов ряда)

Например: даны показатели заработной платы 9 рабочих 2603, 2650, 2680, 2700, 2710, 2712, 2730, 2750. Номер медианы равен 9+1/2 = 5 , т.е. медиана равна 2700, т.е. одна половина рабочих получила з/п меньше 2700 руб, другая – больше.

В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по численности части) оказывается в каком-то из интервалов признака х. Значение медианы вычисляется по формуле

∑f /2 – S_ме-1

М_е= Х_ме+I_ме f_ме

Х_ме– нижняя граница медианного интервала

I_ме - медианный интервал

∑f/2 – половина от общего числа наблюдений

S_ме-1- сумма наблюдений, накопленная от начала медианного интервала

f_ме– число наблюдений в медианном интервале

Показатели вариации

Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

1. Размах вариации – представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака

2. Среднее линейное отклонение используется для сравнения всех имеющихся значений со средней величиной

3. Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий

Простая дисперсия для несгруппированных данных

∑(Х- Х)²

σ ²=n,

взвешенная дисперсия для вариационного ряда

∑( Х – Х)²

=∑f

4. Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии

5. Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической. V=