§ 2. Приложения операционного исчисления.
Для нахождения решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , удовлетворяющего начальным условиям , , , , к обеим частям уравнения следует применить преобразование Лапласа и перейти к операторному уравнению , где - изображение искомого решения , - изображение функции , - некоторый многочлен, коэффициенты которого зависят от начальных данных ,,, (, если ). Решив операторное уравнение относительно : и найдя оригинал для , получим искомое решение . Если начальные данные ,,, считать произвольными постоянными , то найденное решение будет являться общим решением данного дифференциального уравнения.
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами решаются аналогично. Отличие состоит лишь в том, что вместо одного операторного уравнения получится система операторных уравнений, линейных относительно изображений искомых функций.
В задачах 15.81-15.86 найти общие решения следующих дифференциальных уравнений:
15.81 15.82
15.83 15.84
15.85 15.86
В задачах 15.87-15.100 найти частные решения дифференциальных уравнений при указанных начальных условиях:
15.87 , . 15.88 , .
15.89 .
15.90 .
15.91 .
15.92 .
15.93 .
15.94 .
15.95 .
15.96 .
15.97 , , где
15.98 , , где
15.99 , , где
15.100 ,, где
В задачах 15.101-15.112 найти частные решения систем дифференциальных уравнений для указанных начальных условий:
15.101
15.102
15.103
15.104
15.105
15.106
15.107 , .
15.108 , .
15.109 , .
15.110
15.111 ,
где и
15.112
где
Для нахождения решений линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, используя теорему о свёртке, находят сначала изображения искомых решений этих уравнений, а затем и само решение.
В задачах 15.113-15.120 найти решения следующих интегральных уравнений:
15.113 15.114
15.115 15.116
15.117 15.118
15.119 15.120
В задачах 15.121-15.125 найти решения интегро-дифференциальных уравнений для указанных начальных условий:
15.121 , .
15.122 , .
15.123 , .
15.124 ,
15.125 , .
§ 3. Дискретное преобразование Лапласа.
Функцию , определённую только в некоторых точках числовой прямой называют решетчатой. Будем в дальнейшем рассматривать решетчатые функции, определённые в равноотстоящих точках , где - целое число, - постоянная, называемая периодом дискретности. Решетчатые функции обозначают , а если , то .
Решетчатая функция такая, что: 1) при ; 2) существуют положительные числа и такие, что для всех справедливо неравенство , называется дискретным оригиналом.
Дискретным преобразованием Лапласа функции называется функция комплексного переменного , , определяемая равенством: . При этом функция называется оригиналом, а функция - его изображением. Соответствие между оригиналом и его изображением символически записывается в виде или .
Часто дискретное преобразование Лапласа рассматривают для случая , при этом .
В задачах 15.126-15.133 используя таблицу изображений дискретного преобразования Лапласа, найти изображения следующих функций:
15.126 15.127 15.128 15.129
15.130 15.131
15.132 15.133
В задачах 15.134-15.135 используя теорему смещения найти изображения следующих функций:
15.134 15.135
В задачах 15.136-15.141 используя теорему о дифференцировании изображения, найти изображения функций:
15.136 15.137 15.138
15.139 15.140 15.141
Таблица изображений дискретного преобразования Лапласа.
|
||
1. |
1 |
|
2. |
||
3. |
||
4. |
||
5. |
||
6. |
||
7. |
||
8. |
||
9. |
||
10. |
||
11. |
||
12. |
||
13. |
||
14. |
||
15. |
||
16. |
||
17. |