6.2. Секториальная площадь

В дополнение к уже известным геометрическим характеристи­кам сечений (F - площадь поперечного сечения; S_x, S_v - статиче­ские моменты сечения; J_x, J_v, J_xy - осевые и центробежный момен­ты инерции) введем ряд новых. Эти характеристики свойственны только тонкостенным стержням и определяются на основе понятия секториальной площади.

Рассмотрим срединную линию контура поперечного сечения (рис. 6.3). Срединная линия - это геометрическое место точек поперечного сечения, равноудаленно расположенных от контурных линий. Выберем на срединной линии начало 0 отсчета дуги s и из заданного полюса Р. Проведем два луча к концам элементарного отрезка ds. Удвоенную площадь треугольника PAB обозначают через d w.

Рис. 6.3

Очевидно, что

d w = r d s, (6.1)

где r - расстояние от полюса Р до каса­тельной к линии контура в точке А.

Интеграл

, (6.2)

называется секториальной площадью. Таким образом, сектори­альная площадь представляет собой удвоенную площадь, очер­чиваемую радиус-вектором РА при движении т. А по контуру от начала отсчета 0 до некоторого значения дуги s. Если радиус-век­тор вращается по часовой стрелке, приращение площади d w имеет знак плюс, против часовой стрелки - минус.

Точка Р называется секториальным полюсом.

При заданном полюсе и заданном начале отсчета в каждом конкретном случае может быть построена эпюра секториальной площади.

Рис. 6.4

В качестве примера по­строим эпюру секториальной площади для контура, приве­денного на рис. 6.4, а. Выби­раем в качестве полюса точ­ку P, а за начало отсчета при­нимаем точку 0 (рис. 6.4, а).

Рассмотрим участок 0-3. На этом участке 0 £ s £ a. Век­тор r вращается по часовой стрелке, следовательно эпюра w имеет знак плюс:

w_0-3 = +a s;   w₀ = 0;   w₃ = a² .

На участке 3-4, 0 £ s £ a, вектор r вращается против часовой стрелки, то есть приращение площади будет отрицательным:

w_3-4 = a² - a s;   w₃ = a² ;   w₄ = 0.

На участке 0-2, 0 £ s £ a, вектор r вращается против часовой стрелки, то есть приращение площади будет отрицательным:

w_0-2 = -a s;   w₀ = 0;   w₂ = -a² .

На участке 2-1, 0 £ s £ a, вектор r вращается по часовой стрелке, то есть приращение площади будет положительным:

w_2-1 = - a² +a s;   w₂ = -a² ;   w₁ = 0.

Эпюра секториальной площади w приведена на рис. 6.4, б.

Отметим, что при переносе полюса секториальная площадь ме­няется на величины, линейно зависящие от координат x и y, т.е.:

, (6.3)

где и- секториальная площадь относительно нового Р₀ и старого полюса Р', соответственно; x_c, y_c, x₀, y₀ - координаты центра изгиба и начала отсчета, соответственно.

6.3. Секториальные характеристики и их определение

Наряду с общепринятыми, для тонкостенных стержней вводят­ся дополнительные характеристики поперечных сечений.

Секториально статический момент поперечного сечения:

, м⁴ .

Секториально линейные моменты площади поперечного сечения:

и , м⁵ .

Секториальный момент инерции поперечного сечения:

, м⁶ .

Окончательные выражения секториальных характеристик, исхо­дя из предположения, что толщина тонкостенного сечения по все­му контуру постоянна и равна d.

При поперечном изгибе или кручении всегда существует такая точка, относительно которой момент от касательных сил, возни­кающих в поперечном сечении, равен нулю. Эта точка называется центром изгиба или кручения. Для сечений, имеющих две оси симметрии, центр изгиба или центр кручения совпадают с центром тяжести.

Положение центра изгиба (или кручения) не зависит от дейст­вующих на стержень сил, а зависит только от формы и размеров поперечного сечения тонкостенного стержня.

При стесненном кручении центр кручения, а также начало отсчета секториальной площади не могут быть выбраны произ­вольно. Эти точки должны быть выбраны так, чтобы секториально линейные моменты, а также секториально статический момент бы­ли равны нулю, т.е.:

(6.4)

Выполнение условий первых двух условий из (6.4) зависит только от выбора координат полюса. Выполнение же третьего из условий (6.4) зависит от выбора начала отсчета 0.

Эпюра w, построенная при полюсе, в качестве которого взят центр изгиба, и удовлетворяющая третьему уравнению (6.4), носит название эпюры главной сектроиальной площади.

Положение центра изгиба и секториальные характеристики се­чения на практике определяются в следующей последовательности.

Сначала выбирается положение полюса Р и строится эпюра секториальной площади w¢ относительно полюса.

Далее определяются величины иотносительно по­люсаP и вычисляются координаты центра изгиба по формулам:

и . (6.5)

Определяется секториальнаю площадь относительно центра из­гиба по формуле (6.3) и вычисляется секториaльно стaтический мо­мент поперечного сечения по формуле:

,

как площадь эпюры w₀, умноженную на d.

Далее определяется постоянная D из третьего условия (6.4) по формуле:

(6.6)

и строится эпюра главной секториальной площади:

. (6.7)