- •1.9. Расчет многопролетных статически определимых балок матричным методом (задача № 2)
- •1. Пpовеpка геометpичеcкой неизменяемоcти cиcтемы
- •2. Замена pаспpеделенной нагpузки сосpедоточенными силами и составление вектоpа нагpузки
- •3. Составление матpицы влияния моментов для всех сечений, отмеченных на схеме
- •4. Составление матpицы влияния попеpечных сил для всех участков балки
- •5. Определение векторов изгибающих моментов и поперечных сил
- •6. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил
- •7. Построение линии влияния изгибающего момента в сечении 2
- •8. Определение изгибающего момента в сечении 2 от заданной нагрузки по линиям влияния м
- •1.10. Расчет трехшарнирных арок и рам. Линии влияния опорных реакций и усилий
- •1.11. Расчет трехшарнирной арки (задача № 3)
- •1. Определение вертикальных опорных реакций и распора
- •2. Определение внутренних усилий мk , qk и nk возникающих в сечении k-k от нагрузок q и p, аналитически
- •3. Построение линий влияния мk , qk и nk
- •4. Вычисление величин mk , qk и nk по их линиям влияния от заданной нагpyзки q и p
4. Составление матpицы влияния попеpечных сил для всех участков балки
Матрицу влияния поперечных сил для всех участков балки можно было бы составить аналогично матрице влияния моментов, т.е. с помощью эпюр Q, построенных от последовательного загружения балки во всех точках деления на участки сосредоточенной силой P = 1.
Учитывая, что поперечная сила Q и изгибающий момент M связаны дифференциальной зависимостью которая для дискретных систем выражается формулойматрицу влияния поперечных сил можно получить путем умножения матрицы влияния моментов на матрицу перехода от матрицы влияния моментов к матрице влияния поперечных сил.
На основании дифференциальной зависимости между Q и M матрица перехода будет иметь вид:
.
Получим матрицу влияния поперечных сил
LQ = KQM LM =
5. Определение векторов изгибающих моментов и поперечных сил
Векторы (матрицы-столбцы) изгибающих моментов и поперечных сил могут быть определены с помощью матриц влияния моментов и поперечных сил по формулам: M = LM P и Q = LQ P. Получим эти векторы от вектора нагрузки P, характеризующей данную систему (п.2):
6. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил
Компонентами вектора моментов М являются величины изгибающих моментов в соответствующих сечениях балки от нагрузки, полученной в п.2. Откладывая эти величины в масштабе от базисной линии в соответствующих сечениях балки (рис. 1.18, г), получим эпюру изгибающих моментов (на участках, где действует распределенная нагрузка, эта эпюра показана пунктиром).
Рис. 1.19
Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 1.18, д.
Компонентами вектора поперечных сил Q являются величины поперечных сил на соответствующих участках балки (постоянные по величине в пределах каждого участка) от нагрузки, полученной в п.2. Откладывая эти величины в масштабе от базисной линии на соответствующих участках балки (рис. 1.18, е), получим эпюру поперечных сил (на участках, где действует распределенная нагрузка, эта эпюра показана пунктиром).
Для построения эпюры поперечных сил от заданной нагрузки следует проделать с полученной эпюрой Q ту же операцию, что и с эпюрой М.
Эпюра поперечных сил для отдельного участка, загруженного распределенной нагрузкой, показана на рис. 1.19, в. Эпюра поперечных сил для заданной балки показана на рис. 1.18, е.
7. Построение линии влияния изгибающего момента в сечении 2
Обозначим элемент матрицы влияния LM через mij. Первый индекс i означает номер сечения, в котором определяется изгибающий момент, второй индекс j означает номер точки, где приложена единичная сила Pi = 1.
Таким образом, матрица LM будет иметь следующий вид:
.
Рассмотрим столбец этой матрицы с номером j. По построению и по логике расстановки индексов элементы этого столбца являются ординатами эпюры моментов от действия единичной силы в точке j. Выделим теперь строку матрицы LM с номером i. У элементов этой строки первый индекс одинаков, следовательно, это численное значение изгибающего момента в сечении i. Второй индекс меняется от 1 до 10, следовательно, mij - это значения изгибающего момента в сечении i от действия единичной силы, меняющей свое положение. Другими словами, любая строка матрицы содержит значения ординат линии влияния момента в соответствующем сечении балки.
Следовательно, строка матрицы LM, соответствующая сечению 2 (вторая сверху), содержит ординаты линии влияния М2. Откладывая эти ординаты в масштабе от базисной линии, получим линию влияния М2. Линия влияния показана на рис. 1.18, ж.