- •1.9. Расчет многопролетных статически определимых балок матричным методом (задача № 2)
- •1. Пpовеpка геометpичеcкой неизменяемоcти cиcтемы
- •2. Замена pаспpеделенной нагpузки сосpедоточенными силами и составление вектоpа нагpузки
- •3. Составление матpицы влияния моментов для всех сечений, отмеченных на схеме
- •4. Составление матpицы влияния попеpечных сил для всех участков балки
- •5. Определение векторов изгибающих моментов и поперечных сил
- •6. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил
- •7. Построение линии влияния изгибающего момента в сечении 2
- •8. Определение изгибающего момента в сечении 2 от заданной нагрузки по линиям влияния м
- •1.10. Расчет трехшарнирных арок и рам. Линии влияния опорных реакций и усилий
- •1.11. Расчет трехшарнирной арки (задача № 3)
- •1. Определение вертикальных опорных реакций и распора
- •2. Определение внутренних усилий мk , qk и nk возникающих в сечении k-k от нагрузок q и p, аналитически
- •3. Построение линий влияния мk , qk и nk
- •4. Вычисление величин mk , qk и nk по их линиям влияния от заданной нагpyзки q и p
1.11. Расчет трехшарнирной арки (задача № 3)
Для трехшарнирной арки с очертанием оси по квадратной параболе (рис. 1.25, а) необходимо:
1. Определение вертикальных опорных реакций и распора;
2. Определение внутренних усилий МK , QK и NK в сечении K-K от нагрузок P и q, аналитически;
3. Построить линии влияния изгибающего момента МK , поперечной силы QK и продольной силы NK для сечения K-K;
4. Вычислить величины МK , QK и NK по линиям влияния от заданной нагрузки P и q и сравнить их со значениями, определенными аналитически (п.2 задания).
Решение
1. Определение вертикальных опорных реакций и распора
Предварительно необходимо начертить строго в масштабе расчетную схему оси арки, ординаты которой должны быть вычислены по ее уравнению:
.
В нашем случае:
при zK = 2 м, yK = м;
при z = 4 м, , y = м;
при z = 6 м, , y = м; и т.д.
Вертикальные опорные реакции VA, VB и горизонтальные опорные реакции (распор) HA и HB вычисляем из уравнений равовесия системы. В данном примере имеем:
кН;
, кН;
, кН;
S z = 0, HA - HB = 0, HA = HB = 14 кН.
,
22 - 2×8 - 40 + 34 = 0, 56 - 56 = 0, 0 = 0;
,
-34×8 + 14×8 + 40×4 = 0, -272 + 112 + 160 = 0, 0 = 0.
Уравнения тождественно удовлетворяются. Следовательно, вертикальные опорные реакции и распор определены верно.
2. Определение внутренних усилий мk , qk и nk возникающих в сечении k-k от нагрузок q и p, аналитически
Внутренние усилия МK , QK и NK , возникающие в заданном сечении от нагрузок q и P, вычисляем по формулам (1.18), (1.22), (1.23) соответственно:
,
, (1.24)
,
где ,- изгибающий момент и поперечная сила в сеч. K-K двухопорной балки с пролетом, равным пролету трехшарнирной арки и загруженным той же нагрузкой; yК - ордината оси трехшарнирной арки в сечении K-K; jК - угол наклона касательной к оси трехшарнирной арки в сечении K-K.
При этом правило знаков для М и Q принимаем такое же, что и в балках, а для продольной силы N в арочных системах положительным принято считать сжатие.
В рассматриваемом примере:
;
;
м.
Подставим найденные значения , , cosjK , sinjK и yK в формулы, получим величины внутренних усилий, возникающих в сечении K-K от нагрузок q и P:
кН×м;
кН;
кН.
3. Построение линий влияния мk , qk и nk
В рассматриваемом примере все линии влияния строим способом нулевых точек.
Линии влияния внутренних усилий MK, QK и NK могут быть получены сложением известных линий влияния балочных моментов и балочных поперечных сил, а также линии влияния распораН, умноженных на соответствующие коэффициенты выражений (1.18), (1.22), (1.23), что приводит к простым правилам построения линий влияния внутренних усилий в арках.
Ввиду того, что все слагаемые в этих формулах представлены кусочно-линейными функциями, определим абсциссы тех точек, в кторых ординаты линий влияний влияний равны нулю. Эти точки называются нулевыми.
Очевидно, что к их числу относятся опорные точки шарнирной арки. Далее предположим, что при действии единичного груза Р = = 1 в точке, принадлежащей арке с абсциссой zOM (см. рис. 1.25, а), вектор равнодействующих всех внешних сил, действующих в части системы, расположенной левее точки K, проходит через эту точку, тогда, очевидно, что изгибающий момент в сечении K в этом случае будет равен нулю. Для определения величины zOM, воспользуясь геометрическими соображениями (рис. 1.25, а), имеем:
,
откуда:
.
Далее предположим, что, если единичная сила Р = 1 будет расположена в точке, принадлежащей арке, с абсциссой zOQ, а вектор равнодействующей всех внешних сил, действующих левее сечения K, параллелен касательной оси арки, проходящей через точку K, то поперечная сила в этом сечении будет равна нулю. Из рис. 1.25, а, имеем:
,
откуда:
.
Для определения нулевой точки линии влияния NK , нужно определить абсциссу точки приложения единичной силы Р = 1, при котором нормальная внутренняя сила в сечении K равна нулю. Следовательно, нам необходимо определить такую точку приложения единичной силы Р = 1, при котором общий вектор равнодействующей всех сил, расположенных левее сечения K, имеет направление параллельное нормали оси арки, проведенной через сечение K (рис. 1.25, а). Таким образом:
,
откуда:
.
3.1. Построение линий влияния MK . Линию влияния изгибающего момента MK для сечения K-K строим в следующем порядке:
1. Определяем положение нулевой точки О линии влияния MK на ее оси абсцисс. Для этого проводим на схеме трехшарнирной арки прямые АK и ВC и точку пересечения их (О) сносим по вертикали на ось абсцисс линии влияния (точка О на рис. 1.25, б).
Расстояние этой точки от левой опоры находим по формуле
м,
где .
2. Зная положение нулевой точки О, проводим прямую линию, соединяя точку О с концом ординаты h = zK = 2 м, отложенной вверх от оси абсцисс по вертикали, проходящей через опору А.
3. На проведенную прямую МО и ее продолжение сносим по вертикалям сечение K-K и средний шарнир С (точки К и С'). Отрезок прямой КС' является средней прямой линии влияния.
4. Соединяя точку К с нулевой ординатой под опорой А, а точку С' с нулевой ординатой под опорой В, получаем левую (АК) и правую (C'В) прямые линии влияния MK .
Построенная таким образом линия влияния MK показана на рис. 1.25, б.
3.2. Построение линии влияния QK . Эту линию влияния строим также способом нулевых точек в следующем порядке:
1. Определяем положение нулевой точки линии влияния QK . Для этого проводим из точки А прямую, параллельную касательной к оси трехшарнирной арки в сечении K-K, до пересечения с прямой, соединяющей точки В и С (рис. 1.25, а), а затем точку их пересечения О1 проектируем на ось абсцисс линии влияния (рис. 1.25, в). Полученная точка О1 и является нулевой точкой линии влияния QK . Расстояние ее от левой опоры определяем по формуле
м.
2. Откладываем на левой опорной вертикали положительную ординату h = cos jK = 0.555 (отрезок AD) и проводим прямую DO1.
3. Через нулевую ординату под опорой А (точка А) проводим прямую АN, параллельную DO1.
4. На параллельные прямые AN и DO1 проектируем сеч. K-K (точки Е и F) и получаем левую прямую AF линии влияния. Если прямая DO1 не пересекается с вертикалью, проходящей через средний шарнир С, продолжаем прямую DO1 до пересечения с этой вертикалью и получаем точку C¢¢. Соединив точку C¢¢ c нулем под опорой В (точка В), получим правую прямую (C¢¢В) линии влияния QK . Прямая линия, соединяющая точки Е и C¢¢, является средней прямой линии влияния QK , а прямая EF носит название соединительной прямой линии влияния QK .
3.3. Поcтpоение линии влияния NK . Линию влияния NK cтpоим также cпоcобом нyлевых точек в cледyющем поpядке.
1. Hyлевyю точкy О2 линии влияния NK находим как пpоекцию на оcь абcциcc линии влияния точки пеpеcечения пpямой, пpоведенной из точки А пеpпендикyляpно каcательной к оcи аpки в cечении K-K (АО2), c пpямой, пpоведенной чеpез пpавyю опоpнyю точкy В и cpедний шаpниp C (pиc. 1.25, а, г).
Hа pиc. 1.25, г нyлевая точка О2 pаcположена за пpеделами данного чеpтежа. Раccтояние этой точки от левой опоpы опpеделяем по фоpмyле
м,
где l = 16 м;
2. Откладываем ввеpх на левой опоpной веpтикали оpдинатy h = sinjK = 0.832 (отpезок АL). Cоединив точкy L c нyлевой точкой
O2 пpямой линией и пpодолжив ее (еcли это необходимо) до пеpеcечения c веpтикалью, пpоходящей чеpез cpедний шаpниp (т. C'''), полyчаем пpямyю LC'''O2. В нашем пpимеpе точка О2 находитcя пpавее опоpы А на pаccтоянии 48 м от нее и поэтомy на чеpтеже не показана (рис. 1.25, г).
3. Чеpез нyль опоpной веpтикали (точка А) пpоводим линию, паpаллельнyю пpямой LC'''O2.
4. Hа эти паpаллельные пpямые пpоектиpyем cечение K-K (точки T и S). Полyченная пpямая AS ноcит название левой пpямой, TS - cоединительной пpямой, а отpезок пpямой TC''' - cpедней пpямой линии влияния NK .
5. Cоединив точкy C''' c нyлем под пpавой опоpой, полyчаем пpавyю пpямyю (пpямая C'''В) линии влияния NK .