Тема №9

Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ – статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов.

Первоначально (1918г.) дисперсионный анализ был разработан английским математиком – статистиком Р.А. Фишером для обработки результатов агрономических опытов по выявлению условий получения максимального урожая различных сортов сельскохозяйственных культур.

При постановке опыта необходимо соблюдение условий:

1. Каждый вариант опыта необходимо проводить на нескольких единицах наблюдения (групп животных, участков поля и т.п.)

2. Распределение единиц наблюдения между вариантами опыта должно быть случайным, а не преднамеренным.

В дисперсионном анализе используется F-критерий (критерий Р.А. Фишера), представляющий отношение двух дисперсий:

,

где d_факт, d_ост – факторная (межгрупповая) и остаточная (внутригрупповая) дисперсии на одну степень свободы соответственно.

Факторная и остаточная дисперсии являются оценками дисперсии совокупности, рассчитываются по выборочным данным с учетом числа степеней свободы вариации.

Факторная (межгрупповая) дисперсия объясняет вариацию результативного признака под влиянием изучаемого фактора.

Остаточная (внутригрупповая) дисперсия объясняет вариацию результативного признака, обусловленную влиянием прочих факторов (за исключением влияния изучаемого фактора).

В сумме факторная и остаточная дисперсии дают общую дисперсию, выражающую влияние всех факторных признаков на результативный.

Порядок проведения дисперсионного анализа:

1. Опытные данные заносятся в расчетную таблицу и определяются суммы и средние значения в каждой группе изучаемой совокупности, а также общая сумма и среднее значение по всей совокупности (табл.1).

Таблица 1

Группы, j	Значение результативного признака для i-й единицы в j-й группе, xij	Число наблюдений, fj	Средние (групповые и общая), хj
1 2 . . . m	x11, x12, …, х1n х21, х22, …, х2n . . . хm1, хm2, …, хmn	f1 f2 . . . fm	. . .

Общее количество наблюдений n рассчитывается как сумма числа наблюдений f_j в каждой группе:

Если во всех группах число элементов одинаковое, то общая средняя  находится из групповых средних как простая средняя арифметическая:

Если же число элементов в группах разное, то общая средняя рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

2. Определяется общая дисперсия D_общ как сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака от общей средней :

3. Рассчитывается факторная (межгрупповая) дисперсия D_факт как сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней , умноженных на число наблюдений:

4. Определяется величина остаточной (внутригрупповой) дисперсии D_ост как разность между общей D_общ и факторной D_факт дисперсиями:

5. Рассчитываются число степеней свободы факторной дисперсии как разница между числом группm и единицей:

6. Определяется число степеней свободы для остаточной дисперсии как разница между количеством индивидуальных значений признакаn и числом групп m:

7. Рассчитывается величина факторной дисперсии на одну степень свободы d_факт как отношение факторной дисперсии D_факт к числу степеней свободы факторной дисперсии :

8. Определяется величина остаточной дисперсии на одну степень свободы d_ост как отношение остаточной дисперсии D_ост к числу степеней свободы остаточной дисперсии :

9. Определяется расчетное значение F-критерия F-расч как отношение факторной дисперсии на одну степень свободы d_факт к остаточной дисперсии на одну степень свободы d_ост:

10. По таблице F-критерия Фишера с учетом принятого в исследовании уровня значимости, а также с учетом степеней свободы для факторной и остаточной дисперсий находят теоретическое значение F_табл.

5%-ному уровню значимости соответствует 95%-ный уровень вероятности, 1%-ному – 99%-ный уровень вероятности. В большинстве случаев используют 5%-ный уровень значимости.

Теоретическое значение F_табл при заданном уровне значимости определяют по таблицам на пересечении строки и столбца, соответствующим двум степеням свободы дисперсий:

по строке – остаточной;

по столбцу – факторной.

11. Результаты расчетов оформляются в таблицу (табл.2):

Таблица 2