3. Исторические задачи

Предлагаю несколько исторических задач, найденных в древних источниках.

Задача Бхаскари

(Приложение №3)

«На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?»

Решение: По теореме Пифагора АВ²= ВС²+АС²;9+16=25, АВ=5 Футов; СD=3+5=8 футов. Ответ: высота тополя 8 футов.

Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

(Приложение№3). «Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды, и какова длина камыша?».

Решение: По теореме Пифагора (x+1)²=x²+25; 2x=24,x=12 чи.; 12+1=13 чи. Ответ: глубина воды-12 чи, длина камыша-13 чи.

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать». Решение: ВС²=АВ²-АС²; ВС²=15625-13689=44 стоп. Ответ: ВС=44 стоп. (Приложение№3).

Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу"

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи).Какова высота бамбука после сгибания? Решение: (10-x)²=x²-9; -20x=9-100, -20x=-109,x=109/20 чи. Ответ:x= 4,55 чи. (Приложение№3).

4.Теорема Пифагора в строительстве и архитектуре

Очень легко можно воспроизвести способ построения "натягивателями веревок" прямых углов при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. (Приложение №4).

Окно

В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке (Приложение №4)представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг половине ширины, (b/2) для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке (Приложение №4).Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем: (b/4+p)²=( b/4)²+( b/2-p)²; или b²/16+ bp/2+p²=b²/16+b²/4-bp+p²; откуда bp/2=b²/4-bp. Разделив на b и приводя подобные члены, получим: (3/2)p=b/4, p=b/6.

Строительство крыши

При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF. (Приложение №4)     Решение:     Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда из треугольника DBC: DB=2,5 м., из треугольника АВF:  АF=√4²+4²=√32≈5,7 м.

Взяв за основу эту задачу, я решил исследовать двускатную крышу детского сада «Незабудка» и проверить, выполняется ли для неё теорема Пифагора. Проведя измерения крыши, получил следующие результаты: длина балки -12,2 м., высота – 3 м., длина стропила – 6,8м. Двускатная крыша в сечении – равнобедренный треугольник, тогда длину стропила вычислю по теореме Пифагора: √6,1²+3²≈6,8м. Учитывая погрешность измерения, прихожу к выводу, что строители крыши при строительстве крыши пользовались известной теоремой.

Когда я вырасту, и у меня будет своя семья, то я, как настоящий мужчина, обязательно построю дом. Я знаю теперь, что для строительства крыши моего дома обязательно надо применить теорему Пифагора.

При проектировании любых строительных объектов возникает необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по известным сторонам. Подобные задачи решаются и в нашей повседневной жизни. Например, перед новым годом в центре нашего села Ярки на небольшой площади устанавливается ёлка высотой 5 м. Её всегда устанавливают на прямоугольную призму, сделанную из снега. Ёлка стоит неустойчиво (это проблема) и под воздействием природных явлений (чаще сильного ветра) накреняется, иногда падает. Я предлагаю устанавливать её другим способом. Установить ёлку без снежной призмы высотой 8м. и закрепить её в вертикальном положении. Для этого от вершины ёлки надо сделать проволочные натяжки АВ, АМ, АК одинаковой длины и закрепить на земле на расстоянии 6м от основания елки. Длина натягивающей проволоки должна 10м., т.к. по теореме Пифагора АВ²= АС²+ВС²; АВ==10 м. (Приложение №5)

А если все-таки высота ёлки 5м., то длину можно рассчитать приближенно. Пусть натягивающую проволоку закрепим на расстоянии 3 м. от основания ёлки, тогда её длина будет равна =≈5,8 м.

Молниеотвод

Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту. Решение: по теореме Пифагора h²≥ a²+b², значит h ≥ √(a²+b²). Ответ:h ≥√ (a²+b². (Приложение №5)

Гроза и ее непременный атрибут молния – атмосферное явление, таящее в себе достаточно большую опасность. Достаточно сказать, что в год в мире от удара молнии гибнет более 3000 человек (что гораздо больше числа погибших в авиакатастрофах), а материальный ущерб исчисляется миллиардами долларов (в нашей стране - сотнями миллионов рублей). Я считаю, что возведение молниеотводов очень актуально для нашего села, т.к. природные катаклизмы не обходят стороной и нас. Так в 2009 году в здание детского сада, во время сильной грозы, «зашла» молния. По предположению заведующей садиком Гельм Т.А. она «зашла» и «вышла» через крышу, повредив электроснабжение. Весь шифер с одной стороны был полностью снесён. К счастью никто не пострадал. На крыше садика молниеотвода нет. Я считаю, что он обязательно должен быть на здании, где находятся дети. Поэтому предлагаю на крыше детского садика восстановить стержневой молниеотвод. Если размеры крыши садика 44м. и 12,2м., то по предыдущей задаче высота молниеотвода должна бытьh≥√6,1²+22²,h≥22,8м. Так как молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты, то высота молниеотвода должна быть не меньше 11,4 м. По расчетам видно, что высота молниеотвода очень высокая. Можно установить два стержневых молниеотвода, я думаю, это будет экономически выгоднее. Их высоты должны быть не менее 6,3 м., а если учесть ещё и высоту крыши 3 м., то высоты молниеотводов должны быть не менее 3,3 м. (Приложение №5).

• мобильной связи

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например, радиусе R=200 км, если известно, что радиус Земли равен 6380 км.?) (Приложение №6). На основе Я на основе задачи, найденной в Интернете, решил решить задачу: какую наименьшую высоту должна иметь вышка мобильной связи, поставленной в селе Утянка, чтобы село Ярки попало в зону связи (расстояние от вышки до Ярков по прямой 10 км.)? Решение: Применив теорему Пифагора, получу уравнение (х+6380)²=10²+6380²; х²+12760х-100=0;D=162817600+400=162818000;≈12760,016; х≈0,008км.

• литературе

Мало кто знает, что Пифагор имел отношение не только к математике, но и к литературе. Он и его теорема воспеты в литературе. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, греческий ученый III в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и многие другие.

Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц, анекдотов, частушек об этой теореме. Некоторые из них я приведу в своей исследовательской работе (приложения №6, №7). Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков, послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Так, например, немецкий писатель-романист А. Шамиссо, который в начале XIX в. участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле "Рюрик", написал следующие стихи:

Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье.

За света луч, пришедший с облаков. Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя, вслед. Они не в силах свету помешать. А могут лишь, закрыв глаза, дрожать.

От страха, что вселил в них Пифагор.

Теоремой Пифагора и пифагорейской школой восхищается человечество на протяжении всей истории, им посвящают стихи, песни, рисунки, картины. Так художник Ф.А. Бронников (1827-1902) нарисовал картину «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу» (Приложение№5).

Картина передает пафос преклонения учеников легендарной школы перед единой гармонией, царящей в мироздании («космосе»), музыке и числе.