Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекция 2 опер_исчисл.doc

Скачиваний:

144

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

622.59 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 2.

Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

, (1)

удовлетворяющее начальным условиям

, (2)

где - заданные числа.

Будем считать, что искомая функция вместе с ее производными до – го порядка и функция являются оригиналами.

Обозначим: и . Пользуясь свойством дифференцирования оригинала и свойством линейности, перейдем в дифференциальном уравнении от оригиналов к изображениям:

или

. (3)

Полученное алгебраическое уравнение, линейное относительно изображения, называют операторным (или уравнением в изображениях). По найденному из него изображению , можно найти оригинал , используя таблицу и свойства преобразования Лапласа.

Пример 1. Операционным методом решить задачу Коши

, , .

Решение. Пусть . Тогда ,

По таблице оригиналов и изображений

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:

Разрешим его относительно , получим

Найдем оригинал для каждого слагаемого в правой части полученного равенства.

Дробь нужно представить в виде суммы простейших дробей.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена меньше степени многочлена , т.е.. Если дробь неправильная, то можно разделить числитель на знаменатель и выделить многочлен и правильную дробь. Простейшими дробями называются правильные рациональные дроби вида

; ; .

Условие означает, что многочлен имеет комплексные корни.

Любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей.

Если знаменатель представлен в виде разложения

(4)

где и - кратности соответствующих вещественных и комплексных корней, то разложение правильной рациональной дроби на простейшие будет иметь вид

(5)

Коэффициенты разложения находят методом частных значений или методом неопределенных коэффициентов.

Дробь представим в виде суммы простейших дробей

Умножив обе части последнего равенства на, получим

Чтобы найти неопределенный коэффициент , подставим в это уравнение . Тогда , или .

Приравнивая коэффициенты при , и в обеих частях тождества, получим систему линейных уравнений

из которой можно найти остальные неопределенные коэффициенты и . Из первого уравнения этой системы , из второго уравнения . Следовательно,

Таким образом,

Пример 2. Операционным методом решить систему дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями

, , .

Решение.

Пусть . Тогда .

Так как , то система операторных уравнений примет вид .

Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений и :

Найдем решение системы по формулам Крамера. Вычислим определитель системы и вспомогательные определители , .

Тогда , .

Частные решения и являются оригиналами для вычисленных изображений. Чтобы найти , разложим дробь на сумму простейших: .

Из этого следует, что

В последнем равенстве положим . Тогда , или . При : , значит . При : , откуда . Следовательно,

Таким образом, .

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и нулевыми начальными условиями с помощью интегралов Дюамеля

Если - решение уравнения

(6)

при нулевых начальных условиях

, , …, , (7)

то решением уравнения

(8)

при тех же начальных условиях является функция

. (9)

Доказательство.

Уравнению (6) при нулевых начальных условиях (7) соответствует операторное уравнение

, (10)

где , - характеристический многочлен уравнения (6).

Уравнению (8) при нулевых начальных условиях (7) соответствует операторное уравнение

(11)

где , а .

Из (10) и (11) найдем

(12)

Воспользуемся результатами для изображения по Лапласу интегралов Дюамеля

(13)

Положим в формуле (13) , и учтем, что . Тогда получим решение дифференциального уравнения (8) при нулевых начальных условиях в виде

(14)

Формула (14) позволяет находить решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях, не находя изображения правой части этого уравнения.

Типовой расчет

1. По данному графику оригинала найти изображение:

Решение. Найдем аналитическое выражение для функции, график которой представлен на рисунке. Прежде всего запишем уравнение прямой, проходящей через точки и , и уравнение прямой, проходящей через точки и . Как известно, уравнение прямой, проходящей через точки с координатами и имеет вид . В данном случае независимая переменная , поэтому уравнение прямой примет вид. Подставляя в это уравнение координаты точек А и В получим после упрощения уравнение в виде , подставляя в уравнение координаты точек В и С, получим после упрощения уравнение в виде . Тогда функция имеет вид

(15)

Эту функцию можно записать с помощью функции Хевисайда

(16)

Построим график функции и убедимся, что он совпадает с исходным заданным графиком

Нужно преобразовать функцию к такому виду, чтобы аргументы отдельных слагаемых, за исключением постоянных, совпадали с аргументами функций Хевисайда, содержащихся в этих слагаемых. Здесь нужно подвергнуть преобразованию только последнее слагаемое.

(17)

Тогда

(18)

Изображение этой функции построим с помощью таблицы, используя теорему запаздывания

(19)

Решим теперь эту задачу с помощью Mathcad. Функция Хевисайда в этом пакете обозначается греческой буквой , комплексный аргумент изображения обозначается буквой (т.е.).

Полученный результат совпадает с (17).

2. Найти оригинал по заданному изображению:

Решение. Для решения этой задачи необходимо представить дробь в виде суммы простейших дробей.

Разложение дроби на простейшие имеет вид

, (20)

поскольку многочлен имеет два комплексно сопряженных корня, так как . Приведем сумму дробей в правой части (20) к общему знаменателю, который совпадает со знаменателем дроби в левой части (20). Тогда получим равенство числителей

(21)

Для определения коэффициентов разложения в (20), воспользуемся вначале методом частных значений. Положим в (21) , тогда получим .

Для того, чтобы определить коэффициенты и , используем метод неопределенных коэффициентов: приравняем коэффициенты при одинаковых степенях и в левой и правой частях равенства (21).

. Отсюда найдем , .

Следовательно, .

Выделим полный квадрат в знаменателе :

. Тогда

(22).

Теперь с помощью таблицы по заданному изображению можно восстановить

оригинал

Для изображения с учетом теоремы запаздывания получим из таблицы оригинал

Следовательно,

(23)

Приведем решение данной задачи с помощью Mathcad. Для каждого из слагаемых изображения получим оригиналы

Отсюда для исходного изображения оригинал имеет вид

Этот результат совпадает с (23).

3. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям y(0) = y'(0) = 0.

Для решения данной задачи используем интеграл Дюамеля. Найдем вначале решение дифференциального уравнения . Соответствующее операторное уравнение для изображения имеет вид

или . Отсюда найдем

. Представим полученную дробь в виде суммы простейших дробей . Найдем коэффициенты . Для этого приведем дроби в правой части к общему знаменателю и получим равенство числителей

(24)

Для нахождения коэффициентов вначале воспользуемся методом частных значений. Положим . Тогда получим . Положим . Тогда получим . Для определения значения приравняем коэффициенты при степени слева и справа в (24): . Следовательно, . Следовательно, изображение имеет вид . По таблице найдем соответствующий оригинал .. Отсюда