- •Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и нулевыми начальными условиями с помощью интегралов Дюамеля
- •Типовой расчет
- •1. По данному графику оригинала найти изображение:
- •2. Найти оригинал по заданному изображению:
- •4. Операционным методом решить задачу Коши:
- •5. Решить систему дифференциальных уравнений:
4. Операционным методом решить задачу Коши:
(29)
(30)
Решение. Учитывая, что, ,
,
получим операторное уравнение в виде
.
Отсюда изображение
(31)
Многочлен имеет корни , , поэтому и выражение для после упрощения суммы первой и последней дробей преобразуется к виду
(32)
Для того чтобы получить оригинал для изображения , нужно дроби, входящие в (32), разложить на простейшие. Найдем это разложение с помощью Mathcad
По данному изображению с помощью таблицы с учетом теоремы запаздывания получим решение исходного дифференциального уравнения
(33)
Очевидно, что найденное решение удовлетворяет начальным условиям
, .
Решим теперь эту задачу с помощью Mathcad.
Запишем правую часть уравнения с помощью функции Хевисайда
и найдем ее изображение.
Это выражение можно упростить. Вначале представим это выражение в виде суммы дробей
и упростим суммы первого и третьего слагаемых, а также второго и четвертого слагаемых
В результате изображение правой части дифференциального уравнения примет вид
Запишем операторное уравнение для изображения искомой функции и найдем его решение с помощью вычислительного блока Given-Find, который используется для символьного решения уравнений и систем уравнений
Ответ получился в виде многоэтажной дроби. Для упрощения этой дроби используем команду factor.
В результате получим изображение искомой функции в виде
Найдем по данному изображению оригинал
Упростим множитель при функции Хевисайда
Отсюда получим решение задачи в виде
Это выражение совпадает с (33)
Легко проверить, что полученная функция удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению и заданным начальным условиям.
Отметим, что с помощью Mathcad получить оригинал по непреобразованному изображению не удается
5. Решить систему дифференциальных уравнений:
,
с начальными условиями
Решение.
Запишем систему операторных уравнений для заданной системы
Методом исключения или методом Крамера найдем решение этой
Разложим полученные дроби на простейшие дроби
По найденным изображениям с помощью таблицы найдем оригиналы
(34)
Полученное решение системы удовлетворяет заданным начальным условиям
Найдем теперь решение системы с помощью Mathcad
Запишем систему операторных уравнений для изображений искомой функций и найдем решение этой системы с помощью вычислительного блока Given-Find
По найденным изображениям восстановим оригиналы
Полученное решение совпадает с ранее найденным решением (34).