Лекция №4

Часть 1.

Простые числа, генерация больших простых чисел, проверка на простоту.

!!! Предлагается ознакомиться с материалом на стр 1-14 самостоятельно для общей эрудиции, весьма любопытные и интересные сведения. Автор Ю.Матиясевич !!!

Что требуется?

Простые числа разбросаны в натуральном ряду очень прихотливым образом, и не удивительно, что издревле математики стремились найти «формулу для простых чисел». Такими формулами можно называть формулы, обладающие разными свойствами, и здесь очень важно понять, что нам требуется на самом деле.

Самая простая формула для простых чисел выглядит, по-видимому, так:

p = pn ,

(1)

где p_n обозначает n-е простое число. Чем же эта формула не устраивает нас? Дело в том, что правая часть этого равенства вычисляется слишком сложным образом — попробуйте, например, самостоятельно найти p₁₉₇₅! Мы же хотим получить аналогичную формулу с возможно более простым способом вычисления правой части (однако, как мы увидим, простота вычислений — понятие совсем не очевидное). Это, так сказать, программа-максимум.

Ради простоты формулы можно отказаться от требования явной зависимости от номера n и искать формулы, дающие простые числа, быть может, не по порядку. Далее, можно отказаться от желания задать одной формулой сразу все простые числа и требовать только того, чтобы формула давала бесконечно много простых чисел. Можно, наконец, допустить, чтобы эта формула давала наряду с бесконечно многими простыми числами и некоторые составные числа. Это — программа-минимум.

Формулы, кажущиеся очень простыми, на деле могут оказаться не лучше формулы (1). Именно к таким примерам мы сейчас и переходим.

Теорема е. М. Райта

В 1947 году В. X. Миллс опубликовал следующий результат:

Существует вещественное число λ такое, что при любом n = 1, 2, ... число

[ λ^3^ⁿ ]

(2)

является простым .

Впоследствии появился ещё ряд формул такого же типа. Однако все это были результаты, формулировка которых выглядит заманчивой и многообещающей, но доказательство разочаровывает. Тому, кто хочет понять, почему это так, мы предлагаем разобраться в доказательстве следующей теоремы Е. М. Райта:

Существует вещественное число μ такое, что всякое число вида

[

2^2

...2

μ

]

(3)

является простым.

Ключевым пунктом в доказательстве теоремы Райта является так называемый постулат Бертрана. Согласно этому постулату при x≥4 между x и 2x–2 всегда есть простое число. Эту гипотезу впервые высказал французский математик Бертран: доказать её он не смог, а потому использовал в своих рассуждениях в качестве недоказуемого постулата. Доказательство гипотезы Бертрана было найдено впоследствии выдающимся русским математиком П. Л. Чебышёвым.

Чтобы найти нужное число μ выберем сначала последовательность простых чисел q₁, q₂, ..., такую, что при любом n=1, 2, ...

	qn		qn+1
2		< qn+1 < 2		– 1.

(4)

(В качестве q₁ можно взять любое простое число, возможность же неограниченного продолжения последовательности {q_n} с соблюдением неравенства (4) гарантирует постулат Бертрана.)

Обозначим для краткости число

2^2

...2

α

где берётся n возведений в степень, через exp₂ⁿα, a обратную функцию,

log₂ log₂ ... log₂ β

— через log ₂ⁿβ.

Попробуем выбрать число μ так, чтобы при n=1, 2, ...

[exp2^nμ] = qn .

(5)

Согласно определению целой части числа равенство (5) эквивалентно неравенству

q_n ≤ exp₂ⁿμ < q_n + 1.

Прологарифмировав его n раз по основанию 2, получим ещё одно двойное неравенство, эквивалентное (5):

log 2^nqn ≤ μ < log 2^n(qn + 1).

(6)

Проверьте сами, что из (4) следует

log ₂¹q₁ < log ₂²q₂ < ... < log ₂ⁿq_n < log ₂ⁿ⁺¹q_n+1 < ... ... < log ₂ⁿ⁺¹(q_n+1 + 1) < log ₂ⁿ(q_n + 1) < ... < log ₂²(q₂ + 1) < log ₂¹(q₁ + 1).

Таким образом, последовательность

log ₂¹q₁,  log ₂²q₂,  ...,  log ₂ⁿq_n,  ...

строго возрастает и ограничена сверху; следовательно, она имеет предел. Его-то мы и возьмём в качестве числа μ; докажите, что так выбранное μ удовлетворяет даже более сильному, чем (6), неравенству

log 2^nqn < μ < log 2^n(qn + 1),

(7)

и, следовательно, равенство (5) справедливо. Теорема Райта доказана.

Основным недостатком формул (2) и (3) является то, что они (точнее, их доказательства) не дают никакого способа находить новые простые числа, ибо чтобы вычислить какое-либо простое число по формулам (2) или (3), нужно числа λ и μ знать с достаточной точностью. Таким образом, формулы (2) и (3) в некотором смысле являются всего лишь замаскированными (и ухудшенными) вариантами формулы (1). Кроме того, вид формул (2) и (3) на самом деле почти ничего не говорит именно о множестве простых чисел. Из доказательства теоремы Райта видно, что формулы, аналогичные (2), (3), можно указать для любого «достаточно густого» множества.

Недостатки формул (2) и (3) порождены тем, что в них входят вещественные числа λ и μ, задаваемые неким косвенным образом. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь формулы, в которые входят только целочисленные коэффициенты. Такие формулы обладают важным преимуществом: они могут быть (в принципе) выписаны явно.