- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
- •Справочный материал для задач 1–8
- •Справочный материал для задачи 1
- •Основные свойства определителей
- •Задача 1
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 2
- •Задача 2
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 3
- •Задача 3
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 4
- •Задача 4
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 5
- •Задача 5
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 6
- •Задача 6
- •Решение задачи
- •Задача 7.1
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 7.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 7.3
- •Справочный материал
- •Элементарные преобразования в расширенной матрице:
- •Решение задачи
- •Справочный материал к задаче 8
- •Задача 8.1
- •Решение задачи
- •Задача 8.2
- •Решение задачи
- •Справочный материал к задаче 9
- •Задача 9
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задач 10–12
- •Задача 10.1
- •Решение задачи
- •Задача 10.2
- •Решение задачи
- •Задача 10.3
- •Решение задачи
- •Задача 11.1
- •Решение задачи
- •Задача 11.2
- •Решение задачи
- •Задача 12
- •Решение задачи
- •Справочный материал для задачи 13
- •Задача 13.1
- •Решение задачи
- •Задача 13.2
- •Решение задачи
- •Задача 13.3
- •Справочный материал для задачи 14
- •Задача 14.1
- •Решение задачи
- •Задача 14.2
- •Решение задачи
- •Задача 14.3
- •Решение
- •Справочный материал для задач 15, 16
- •Задача 15.1
- •Решение задачи
- •Задача 15.2
- •Решение
- •Задача 16.1
- •Решение задачи
- •Задача 16.2
- •Решение
- •РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
- •Основная
- •Дополнительная
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»
(СПбГМТУ)
Кафедра математики
——————————————————————————————
ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
Санкт-Петербург
2006
Высшая математика. Тема 1. Элементы линейной алгебры. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь. СПб.: Изд. центр СПбГМТУ, 2006. С. 91.
Издание адресовано студентам инженерных специальностей и предназначено для организации их самостоятельной работы по теме «Элементы линейной алгебры. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия». Рабочая тетрадь является дополнением к теме 1 компендиума по дисциплине «Математика». Она содержит краткие сведения из теории и подробные решения типовых примеров, а также варианты типовых расчетов.
Работа выполнена по заказу и при поддержке факультета целевой контрактной подготовки специалистов.
Составитель В. В. Певзнер Редактор И. Н. Фишкина
2
Справочный материал для задач 1–8
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Если матрица содержит m строк и n столбцов, то она называется
матрицей размерности m ×n и обозначается Am×n . Если у матрицы число строк равно числу столбцов и равно n , то она называется квадратной матрицей n -го порядка.
Замена каждой строки матрицы A ее столбцом с сохранением порядка называется транспонированием. Обозначение
транспонированной матрицы: |
AT . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
Ka |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
Если задана матрица A = |
a21 |
a22 |
Ka2n |
|
, то ее транспо- |
|||||||||||||
|
|
LLLLLLL |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
|
am2 Kamn |
|
|
|
|||||||
нированная матрица имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
a |
21 |
Ka |
m1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
T |
a12 |
|
a22 |
Kam2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
A |
= |
LLLLLLL |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
Ka |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a |
|
2n |
mn |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Элементы квадратной матрицы a11 , a22 , a33 ,... образуют |
||||||||||||||||||
главную диагональ матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
a |
Ka |
a |
0 K 0 |
|
|
a |
|
0 |
0K0 |
|
||||||||
|
11 |
12 |
1n |
|
11 |
a22 K 0 |
|
|
|
11 |
a22 |
|
|
||||||
|
0 |
a22 Ka2n |
a21 |
|
|
|
0 |
0K0 |
|
||||||||||
LLLLLLL |
LLLLLLL |
|
LLLLLLL |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 K ann |
an1 |
an2 Kann |
|
|
|
0 K 0 ann |
||||||||||||
|
|
а |
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
Рис. 1.
Верхней треугольной называется квадратная матрица, у которой все ненулевые элементы находятся только над главной диагональю (рис. 1а).
У нижней треугольной матрицы все ненулевые элементы располагаются под главной диагональю (рис. 1б).
3