Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»

(СПбГМТУ)

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА

Направление подготовки: 180100 «Кораблестроение, океанотехника и системотехника объектов морской инфраструктуры»;

Профили подготовки: 1.180100.62.01 «Кораблестроение», 1.180100.62.03 «Океанотехника».

Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр техники и технологии

Форма обучения: очная

Санкт-Петербург

2011

Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

3.1. Производные и дифференциалы

Производная функции y = f (x) , её геометрический и механический смысл. Таблица

производных. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Гиперболические функции и их производные. Дифференцируемость функций. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Связь дифференцируемой функции с непрерывной функцией. Производные высших порядков. Численное дифференцирование. Дифференциал, геометрический смысл, свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала, нарушение инвариантности формы дифференциала, порядка выше первого. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Функции, дифференцируемые на интервале. Теоремы Ферма, Ролля Лагранжа, Коши. Их геометрический смысл. Правило Лопиталя раскрытия

неопределенностей

0

;

∞

. Раскрытие неопределенностей 0 ∞; ∞−∞;

1∞;

0∞; ∞0 .

0

∞

Формула

Тейлора.

Разложение

по

степеням

x

функций

ex ; sin x; cos x;

(1+ x)α; ln(1+ x) .

Выделение с

помощью формулы

Тейлора

главной части бесконечно малой функции. Вычисление пределов с помощью формулы

Тейлора.

3.1.1. Производная и ее геометрический смысл

Определение 3.1.1

и пусть точка x0 (a, b),

Пусть функция

f (x) задана на промежутке (a, b)

а число

x такое, что новая точка x0 +

x (a, b). Приращением

y функции

f (x)

в точке x0

называется разность значений функции в точках x0 +

x и x0 , то есть

y = f (x0 + x)− f (x0 ).

При этом число

x называется приращением аргумента.

Определение 3.1.2

и пусть точка x0 (a, b),

Пусть функция

f (x) задана на промежутке (a, b)

а число

x такое, что точка x0 +

x (a, b). Производной функции

f (x) в точке x0 называется

предел отношения приращения функции ( y) к приращению аргумента ( x) при

условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и
конечен.
Для производной используются обозначения f ′(x0 ), или просто y′. Итак:
y′ = f ′(x0 )= lim		y ,
x→0		x
или, учитывая определение 3.1.2, y′ = f ′(x0 )= lim	f (x0 + x)− f (x0 )		.
x→0		x

Геометрический смысл производной

Производная функции f (x) в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной,

проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой x0 .

2