1

x

1

y

2x +

1

y

2

x

2 y +

dy = −2x dx −

dx , или dy = −

dx .

x

1

x

2

y

2

2 y +

y

2

ЗАМЕЧАНИЕ

Обращаем Ваше внимание на то, что в последних двух примерах производная и дифференциал неявных функций также являются неявными функциями. В выражения для них входит функция y , вид которой неизвестен.

3.1.10. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

Дифференциал является функцией двух переменных				x и	x . Чтобы вычислить его
значение в некоторой точке		x0 , следует задать не только значение x0 ,					но и величину
приращения аргумента	x .
Если f ′(x0 )≠ 0 , то дифференциал функции f (x) в точке					x0	является бесконечно
малой того же порядка,	что	x и отличается от приращения функции на бесконечно
малую более высокого	порядка, чем x , то		есть	y ≈ dy .		Это	используют		в
приближенных вычислениях.			f (x)
Пусть требуется вычислить значение функции				в точке		x0 +	x	и число	x
достаточно мало. Тогда	из	формулы приращения функции			y = f (x0 +			x)− f (x0 )

можно получить соотношение

f (x0 + x)= f (x0 )+ y ≈ f (x0 )+ dy = f (x0 )+ f ′(x0 ) x ,

в котором приращение функции приближенно заменено дифференциалом.

Задача 3.1.10

Вычислить		приближенноarctg 1,02 ,	заменяя		приращение		функции			ее
дифференциалом.
Решение
Требуется вычислить значение функции			y = arctg x		в точке	x =1,02 .		Представим
x = x0 +	x так,	чтобы значение функции в точке x0		легко вычислялось, а				x	было бы
достаточно (с учетом точности вычислений) малым.
Ясно, что в предложенной задаче удобно взять					x0 =1	и	x = 0,02 .		Теперь
обозначим	y0 = f (x0 ), а значение функции в точке			x представим в виде				y = y0 +		y ,

где y – приращение функции, соответствующее приращению аргумента x .
Учитывая замечание, приращение функции						y приближенно					заменим
дифференциалом в точке x0			при приращении			аргумента		x = 0,02 .			Получим
y0 = arctg1 =	π	≈ 0,7852 ,	y′ = f ′(x)=	1	,	f ′(x0 )=	1	=	1	.	Поскольку
	4			1+x2			1+1		2

y ≈ dy = 12 0,02 = 0,01, то y = arctg1,02 ≈ 0,7852 + 0,01 = 0,7952 .

ЗАМЕЧАНИЕ

Следует заметить, что, поскольку приращение функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка, чем x , то вычисления сделаны с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0,02 .

22