y′x = fu′ u′x .

при этом нижние индексы показывают, по какой переменной берется производная.

Доказательство

y′x

= lim

f (u)

.

x→0

x

u ≠ 0 ,

Умножим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на приращение

получим

f (u)

f (u)

u

lim

u

.

y′x = lim

u

= lim

u

x

x→0

x

x→0

x→0

Так как функция u(x) дифференцируема точке

x ,

следовательно, она в этой точке

непрерывна. Поэтому приращение функции

u → 0 при

x → 0 . Переходя в первом

сомножителе от предела при x → 0 к пределу при

u → 0 , получим

y′x = lim

f (u) lim

u .

u

→0

u

x→0

x

Из дифференцируемости функций

f (u)

и u(x) следует, что оба предела существуют,

конечны и равны производным

по переменным

u

и

x

соответственно,

то есть

y′x = fu′ u′x .

ЗАМЕЧАНИЕ

Правило дифференцирования суперпозиции функций (сложной функции) следует понимать

так, что если требуется вычислить производную от функции	y =sin 2 x , то следует иметь в
виду, что вычисляется производная суперпозиции функций	y = u2 , где u = sin x . Тогда

следует вычислить производную yu′ = (u2 )′u = 2u и производную u′x = (sin x)′x = cos x . Далее по правилу дифференцирования сложной функции

y′ = 2u cos x = 2 sin x cos x .

Из доказанных теорем данного параграфа можно сформулировать следующие правила дифференцирования:

1.(c)′ = 0 .

2.(f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g′(x).

3.(f (x) g(x))′ = f ′(x) g(x)+ f (x) g′(x).

4.(c f (x))′ = c f ′(x).

		f (x)		′	f	′	′
						(x) g(x)− f (x) g (x)
5.				=					.
							g 2 (x)
	g(x)

6.y′x = (f (u(x)))′x = fu′ u′x .

3.1.5.Производные основных элементарных функций

Используя теоремы предыдущего параграфа, можно получить формулы для вычисления производных основных элементарных функций.

10

Производная степенной функции

(xα )′ = αxα−1 .
Доказательство
y′ = (xα )′ = lim	y	=	lim	(x +	x)α − xα	.
	x
x→0			x→0		x

В числителе дроби под знаком предела можно вынести за скобку, а затем и за знак

предела множитель xα , который не зависит от переменной

x . Тогда для производной

получим выражение

′

xα

(1 +

x

)α −1

(1 +

x

)α

−1

x

y′ = (xα )

= lim

= xα

lim

x

.

x

x

x→0

x→0

Поскольку функция

x

является бесконечно малой при

x → 0 ,

то по таблице

x

эквивалентных бесконечно малых справедливо

x α

−1

~

α

x

.

1 +

x

x

x→0

Заменяя под знаком предела бесконечно малую

x α

−1 на эквивалентную ей

1 +

x

бесконечно малую α

x

, получим

x

y′ = (xα )′ = xα

α

x

= xα

α = α xα−1 .

lim

x

x

x→0

x

Производная экспоненциальной и показательной функций

(ex )′ = ex ; (a x )′ = a x ln a .

Доказательство

y′ = (e x )′ =

lim

y

= lim

e x+

x − e x

.

x

x→0

x→0

x

В числителе дроби под знаком предела можно вынести за скобку, а затем и за знак

предела множитель ex , который не зависит от переменной					x . Тогда для производной
получим выражение			e x (e x −1)= ex lim
y′ = (ex )′ = lim	e x e x − ex	= lim				e	x −1	.
	x
x→0		x→0		x	x→0		x
По таблице эквивалентных бесконечно		малых e		x −1 ~	x . Заменяя под знаком
				x→0
предела бесконечно малую функцию e		x −1 на эквивалентную ей бесконечно малую
x , получим
	y′ = (ex )′	= ex lim		x = ex .
		x→0		x
		11

Для показательной функции с любым основанием a > 0 и a ≠ 1 производная вычисляется по правилу:

(a x )′ = a x ln a ,

поскольку по основному	логарифмическому тождеству a = eln a ,										то (a x )′ = (ex ln a )′.
Используя правило дифференцирования сложной функции, получим
(a x )′ = (ex ln a )′ = ex ln a (x ln a)′ = a x ln a .
Производная логарифмической функции
	(ln x)′ =	1	;	(loga x)′ =				1		.
									x ln a
		x
Доказательство
Для функции y = ln x	определена обратная функция x = e y .										Используя правило
дифференцирования обратной функции, получим
	(ln x) ′ =			1	=	1		= 1 .
	x			(e y )′y e y					x

Правило дифференцирования логарифмической функции с произвольным основанием

a > 0 и a ≠ 1 , можно вывести, используя свойства логарифма

loga x =

ln x

. Тогда

ln a

′

ln x ′

1

′

1

1

′

1

(loga x)

=

=

(ln x)

=

;

(loga x)

=

.

ln a

ln a

x

x ln a

ln a

Производные тригонометрических функций

′

′

′

1

′

1

(sin x) = cos x;

(cos x)

= −sin x; (tg x)

=

;

(ctg x)

= −

.

cos2 x

sin 2 x

Доказательство

По

определению

производной

y′ = (sin x)′ =

lim

y .

Представив

приращение

y = sin(x +

x)−sin x

x→0

x

функции

по

формуле преобразования разности синусов в

произведение в виде

y = 2 sin

x

cos(x +

x

), получим следующее выражение для

2

2

производной

cos(x +

)

′

2sin

x

x

2

2

(sin x)

=

lim

.

x

x→0

Используя

таблицу

эквивалентных

бесконечно

малых

функций,

по которой

sin

x

~

x

, заменим под знаком предела бесконечно малую sin

x

на бесконечно

2

x→0

2

2

малую

x

.

2

cos(x +

)

(sin x)′ =

2

x

x

=

lim cos(x +

x

).

lim

2

2

x

x→0

x→0

2

Из непрерывности функции cos x следует, что

lim cos(x +

x

)= cos x . Значит,

x→0

2

12

	(sin x)′ = cos x .
Чтобы доказать, что	(cos x)′ = −sin x , представим cos x = sin(	π	− x) по формуле
	2

приведения, а затем вычислим производную полученной функции, используя правило дифференцирования сложной функции.

(cos x)′ = (sin(π2 − x))′x = cos(π2 − x) (π2 − x)′x = cos(π2 − x) (−1)= −sin x .

Теперь вычислим производную для функции y = tg x . Поскольку tg x = cossin xx , то можно использовать правило дифференцирования частного двух функций.

′

sin x

′

(sin x)′ cos x −sin x

(cos x)′

(tg x)

=

=

=

cos2 x

cos x

=

cos x cos x −sin x (−sin x)

=

cos2

x +sin 2 x

.

cos2 x

cos

2 x

Используя основное тригонометрическое тождество sin2 x +cos2 x =1, получим

(tg x)′ =

1

.

cos 2

x

Выражение для производной функции y = ctg x

можно получить,

используя основное

тригонометрическое

тождество

tg x ctg x =1 и

выразив

из

него

функцию

ctg x по

формуле

ctg x =

1

= (tg x)−1 .

Теперь

можно

использовать

правило

tg x

дифференцирования сложной функции.

(ctg x)′ = ((tg x)−1 )′

= −1 (tg x)−2 (tg x)′ =

= −(tg x)−2

1

= −

cos2 x

1

= −

1

.

cos2

x

sin 2 x

cos2 x

sin 2 x

Производные обратных тригонометрических функций

(arcsin x)′ =

1

;

(arccos x)′ = −

1

.

1 − x2

1 − x2

′

1

′

1

(arctg x)

=

;

(arc ctg x)

= −

.

1 + x2

1 + x2

Доказательство

x [−1; 1]

Функция

y = arcsin x

определена

на

промежутке

и ее

значения

принадлежат

промежутку

y [−

π

;

π

].

Обратная

функция

x = sin y

определена на

2

2

промежутке

y [−

π

;

π

]. По правилу дифференцирования обратной функции,

вычислим

2

2

производную для функции y = arcsin x .

(arcsin x)′ = y′x

=

1

=

1

=

1

.

x′y

cos y

(sin y)′y

13