Объем тела вращения

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x) , непрерывной на [a;b], прямыми x = a , x = b и осью Ox (рис. 4.4.16).

у
		y=f (x)
0	a	b	х

z

	Рис. 4.4.16.
Тогда объем тела вращения равен	V = πb∫(f (x))2 dx .
	a

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, построенной на отрезке [c; d ] оси ординат и ограниченной кривой x = f ( y) , вычисляется по формуле

V = πd∫(f ( y))2 dy .

с

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями

	х = ϕ(t)	, где α ≤ t ≤β и	ϕ(α) = a; ϕ(β) = b ,
y = ψ(t)

тогда объем тела вращения вокруг оси Ох определяется формулой

V = π β∫(ψ(t))2 ϕt′ dx

α

Пример 4.4.7

Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной дугой параболы у = х2 − 4 , заключенной между точкой (0; − 4) и осью Ох.

Решение

Изобразим тело вращения (рис. 4.4.17).

	у
-2	0	2 х

4

Рис. 4.4.17.

Из уравнения у = х2 − 4 найдем x2 = y + 4 , т.е. (f ( y))2 = y + 4 . Вычислим объем:

30