x = a ch t (a sh t)

∫R(x2n , x2 − a2 )dx = x2 − a2 = a ch2 t −1 = a sh t . dx = a sh tdt

Пример 4.3.3

dx

x = a cos t

= ∫ − a3 sin3tdt =

∫

=

a2

− x2 = a sin t

(a2 − x

2 )3

dx

= −a sin tdt

a sin

t

1

∫

dt

1

x

= −

=

ctg t + C =

t = arccos

=

2

2

t

2

a

a

sin

a

x

1

x

1

cos arccos

=

ctg arccos

+ C =

a

+ C =

a2

a

a2

sin arccos

x

x

a

1

1

x

=

a

+ C =

+ C =

a

2

1 − cos2 arccos

x

a

2

a

1 −

x

2

a

a

2

1

x

=

+ C .

a2

a2 − x2

ЗАМЕЧАНИЕ

Для

интегралов

вида

∫R(x2n+1, a2 − x2 )dx ,

∫R(x2n+1, a2 + x2 )dx ,

∫R(x2n+1, x2 − a2 )dx также можно использовать тригонометрические подстановки. Однако проще их вычислять, делая замену a2 ± x2 = t 2 или x2 − a2 = t 2 .

4.3.2. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

Рассмотрим интеграл вида ∫R(sin x, cos x)dx , где R(sin x, cos x) ― рациональная функция

своих аргументов

2dt

Сделаем

подстановку

tg

х

= t

x = 2 arctg t dx =

.

Тогда:

2

1

+t 2

2 tg

х

2t

1 − tg

2

х

=

1 −t 2

sin x =

2

=

, cos x =

2

.

1

+ tg 2

х

1

+t 2

1 + tg 2

х

1 + t 2

2

2

Таким образом, сделав подстановку, исходный интеграл от тригонометрических функций стал интегралом от рациональной функции переменной t , т.е.

2t

1 − t2

2dt

∫R

1 + t

2 ,

1 + t

2

1 + t

2 .

Пример 4.3.4

dx

tg

х

= t

x =

2 arctg t

2dt

1 + t 2

∫

=

2

2t

2dt

= ∫

=

sin x

sin x =

dx =

2t

1 + t 2

1 + t 2

2

1 + t

16

= ∫

dt

= ln

t

+C = ln

tg

х

+C .

t

2

Рассмотренная подстановка даёт возможность проинтегрировать всякую функцию вида

R(sin x, cos x) . Поэтому её называют универсальной тригонометрической подстановкой.

Однако на практике она часто приводит к сложным интегралам от рациональных функций. Поэтому полезно знать также другие подстановки.

sin x =t

1.

∫R(sin x) cos xdx =

= ∫R(t)dt .

cos xdx = dt

Пример 4.3.5

∫

sin3 x

dx = ∫

(1 −cos2 x) sin xdx

=

cos x = t

= − ∫

1 −t 2

dt =

1

1 + cos x

sin xdx = −dt

+ cos x

1 +t 2

= ∫(t −

1)dt =

t 2

−t +C =

cos2 x

−cos x +C .

2

2

tg x = t

dt

2.

∫R(tg x)dx =

x = arctgt

= ∫R(t)

.

1

2

dt

+ t

1 + t2

3.

∫R(sin x, cos x)dx , где sin x и cos x входят в чётных степенях.

Сделаем подстановку:

tg x = t,

x = arctg t

cos2 x =

1

=

1

1 + tg2 x

+t2

1

sin x2 =

tg

2

x

=

t

2

.

1 + tg2 x

1 +t2

dx =

dt

1 + t2

4.

∫sin m x cosn x dx , где

n - нечётное, m - любое.

Пусть n = 2 p +1, тогда

∫sinm x cos2 p+1 xdx = ∫sinm x cos2 p x cos xdx = = ∫sinm x(1 −sin2 x) p cos xdx = ∫R(sin x) cos xdx .

Получили первый случай.

5.∫sinm x cosn xdx , где m, n – чётные неотрицательные.

Вэтом случае используем формулы понижения степени:

sin2 x = 12 (1 −cos 2x) и cos2 x = 12 (1+cos 2x) .

Пример 4.3.6

∫sin2 xdx =	1	∫(1 − cos 2x)dx =		1	(x −	1 sin 2x) + C .
	2			2		2
6. ∫cos αx cos βxdx;			∫sin αx sin βxdx; ∫sin αx cos βxdx,

где (α ≠ β) берутся при помощи следующих формул:

17