Доказательство.

Так как Tn (x0 )= a0 и Tn (x0 )= f (x0 ), то a0 = f (x0 ). Вычислим производную от многочлена Тейлора

Tn ' (x)= a1 + a2 2 (x − x0 )+ a3 3 (x − x0 )2 +...

и подставим в это равенство x = x0 . Получим Tn′(x0 )= a1 .

Поскольку из определения многочлена Тейлора следует, что должно быть выполнено условие Tn′(x0 )= f ′(x0 ), то

a1 = f ' (x0 ).

Вычислим вторую производную от многочлена Тейлора

Tn ''(x)= 2 a2 + a3

Подставив в это равенство x = x0 , Тейлора справедливо Tn′′(x0 )= f ′′(x0 )

a2

3 2 (x − x0 )+ a4 4 3 (x − x0 )2 +...

получим, что Tn′′(x0 )= 2 a2 . Так как для многочлена , то 2a2 = f ′′(x0 ), откуда следует, что

= f ''(x0 )= f ''(x0 ).

2 2!

Вычислим третью производную от многочлена Тейлора

		′′′	2 + a4 4 3 2 (x − x0 )+...
		Tn (x)= a3 3
и подставим в нее		x = x0 . Получим	′′′				2 a3 . Так как должно быть выполнено
			Tn	(x0 )= 3
′′′	′′′		′′′
условие Tn (x0 )= f	(x0 ), то 3 2 a3 = f		(x0 ), откуда следует, что
		a3 =	f ′′′(x0 )		=		f ′′′(x0 )	.
							3!
			3 2
Последовательно		дифференцируя		n раз			многочлен Тейлора и подставляя в

вычисленную производную x = x0 , получим формулу для коэффициента an при любом

значении n :				f '(n)(x	)
		an =		0		.
				n!
		Формулы Тейлора и Маклорена
Пусть функция	f (x)	n раз дифференцируема в некоторой окрестности Uδ(x0 ) точки
x0 и пусть Tn	(x) –	ее многочлен		Тейлора в точке x0 .			Если обозначить
Rn (x)= f (x)−Tn (x), то функцию f (x) в окрестности Uδ(x0 ) точки x0							можно представить
формулой:				f (x)=Tn (x)+ Rn (x)
							(1)

или

f (x)= f (x0 )+ f '1!(x0 ) (x − x0 )+ f ''2!(x0 ) (x − x0 )2 + ... + f (nn)(!x0 )(x − x0 )n + Rn (x). (2)

Определение 1

Формула (1) или (2) называются формулами Тейлора для функции f (x) в точке x0 , а выражение Rn (x) – остаточным членом формулы Тейлора.

Теорема.

lim Rn (x)= 0

x→x0

Доказательство

очевидно, так как f (x0 )=Tn (x0 ), а функция f (x) так же, как и ее многочлен Тейлора,

непрерывны. Тогда

34