Следствие

Из теоремы 1 следует, что производную y′ функции y = f (x) можно записывать в

виде y′ = dydx , независимо от того, является x простой переменной или функцией другой

переменной.

Иногда удобно вычислять дифференциал, не раскрывая до конца производные сложных функций, а пользуясь инвариантностью его формулы.

Пример

	Вычислите дифференциал функции y =	arctg3		x	в произвольной точке x .
		3 3	−5x

Решение

По правилу вычисления дифференциала частного двух функций, запишем

arctg3 x

d (arctg3 x) 3 3 −5x −arctg3

x d

(3 3 −5x )

dy = d

=

.

(3 3 −5x )2

3 3 −5x

Раскрывая дифференциалы

d (arctg3 x) и d (3 3 −5x ),

получим выражение для

дифференциала dy в следующем виде

3arctg

2

x d

3

3

−5x −arctg

3

1

(3 −5x)

−

2

d(3 −5x)

dy =

(arctg x)

x 3

3

=

(3 3 −5x )2

3arctg

2

x dx

1

3

3

−5x −arctg

3

1

(3

−5x)

−

2

(−5) dx

=

1+x

2

3

3

,

(3 3 −5x )2

или, окончательно,

3arctg

2

x

1

3

3 −5x + arctg

3

x

5

(3 −

5x)

−

2

1+x

2

3

3

dy =

dx .

(3 3 −5x )2

Производные функций, заданных параметрически. Дифференцирование неявных функций

Теорема 1. Производная функции, заданной параметрически

Если функция	y = f (x)	x
		задана параметрическими уравнениями
		y

= ϕ(t)

( ), где t –

= φ t

параметр и если функции ϕ(t) и φ(t) дифференцируемы в точке t , то функция y = f (x)

также дифференцируема в точке x(t) и ее производная вычисляется по правилу: y′x = ϕφ′′((tt)).

Доказательство

Было показано, что производную y′x можно представить как отношение

дифференциалов: y′x = dydx .

Поскольку функции ϕ(t) и φ(t) дифференцируемы в точке t , соответствующей точке x , то, используя формулу дифференциала, dy и dx можно представить в виде:

dy = φ′(t) dt , dx = ϕ′(t) dt . Тогда y′x =	φ′(t) dt	=	φ′(t)	.
	′
			′
	ϕ (t) dt		ϕ (t)
8

Пример 1

Вычислите производную y′x функции y(x), заданной параметрическими

x = 1t

уравнениями: .

y = 3 t

Решение

По теореме о производной функции, заданной параметрически, можно записать

		3			′			1			−	2
												3		5
y′x =		(		t )t				3	t							2
							=								= −		t 6 .
			1			′		−	1	t		−	3			3
													2
				t	t				2

Теорема 2. Производная функции, заданной неявно		y = y(x) задана соотношением
Если дифференцируемая в точке	x функция
F (x, y)= 0 и если при этом функция	F(x, y(x)) -	дифференцируема в точке x , то

производную y′(x) можно определить из равенства

(F (x, y(x)))′x = 0 ,

так как функция F(x, y(x)) тождественно равна постоянной и, следовательно, ее производная равна нулю.

Пример 2

Вычислите производную y′x , если дифференцируемая функция y = y(x) задана неявно равенством

x3 y + x y3 −3x2 −3y2 + exy = 0 .

Решение

Согласно теореме 2 производную y′x следует определять из равенства

(x3 y + x y3 −3x2 −3y2 + e xy )′x = 0 .

Вычислим все производные в левой части этого соотношения, используя правила дифференцирования.

3x2 y + x3 y′x + y3 + x 3y 2 y′x − 6x − 6 yy′x + e xy (y + xy′x )= 0 .

Из полученного равенства определим производную y′x .

(x3 +3x y2 −6 y + exy x) y′x = 6x −3x2 y − y3 −exy y .

	y′x =	6x −3x2 y − y3	−exy y	.
		x3 +3x y2 −6 y + e xy x

ЗАМЕЧАНИЕ

Аналогично вычисляется дифференциал функции, заданной неявно.

Пример 3

Найдите дифференциал функции y = y(x), заданной неявно равенством x2 + y2 + xy = 0 .

Решение

Поскольку переменная y является функцией x , то левая часть заданного уравнения

x2 + y2 + xy также является функцией x . Эта функция тождественно равна нулю. Следовательно, ее дифференциал тождественно равен нулю, то есть

9