строки матрицы A

на

соответствующие

элементы

j -ого

столбца

матрицы B :

k

ci j

= ∑ai l bl j

= ai1b1 j + ai2 b2 j +K+ ai k bk j ,

где

i =1, 2,K, m ;

j =1, 2,K, n .

l=1

Обозначается:

A B = C .

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Произведение матрицы A на матрицу B вводится только в том случае, если число столбцов

матрицы A равно числу строк матрицы B .

Пример

3

−2

1

−1

5

−2

3 .

Найти произведение A B и B A, если A =

, B =

2

4

0

1

−4

Решение

−1

5

−3 +

4 +1 15 −6 −4 2

5

A2×3 B3×2 =

3 −2 1

= C2×2 ,

−2

3

=

=

2 4 0

1

−4

−2 −8 +

0 10 +12 +0 −10 22

−1 5

3

−2

1

7 22 −1

B3×2

−2 3

0 16 −2

A2×3 =

4

=

= D3×3 .

1

−4

2

0

−5 −18 1

ЗАМЕЧАНИЕ 3

В общем случае умножение матриц не подчиняется коммутативному (переместительному) закону: A B ≠ B A .

Определение

Матрицы,

для

которых

справедливо

A B = B A ,

называются коммутативными

(перестановочными).

Теорема

Если

A и

B

- квадратные матрицы n -ого порядка,

то определитель произведения

матриц равен произведению определителей:

A B

=

A

B

.

1.5.

Обратная матрица

Определение 1

1

0

K

0

Квадратная матрица вида

0

1

K

0 называется единичной. Обозначается: E .

K K K K

0

0

K

1

Теорема 1

n -ого

Для

любой

квадратной

матрицы

порядка справедливы равенства:

A E = E A = A.

14

Доказательство

			a
			11
A	E	n×n	= a21
n×n			K
			an1

доказательство того,

a12

K a1n 1 0

K 0

a11

a12

K a1n

a

K a

0

1

K 0

a

a

K a

= A

,

22

2n

=

21

22

2n

K K K K K K K

K K K K

n×n

an2

0

0

K 1

an2

K ann

an1

K ann

что E A = A - аналогично.

Определение 2

Квадратная матрица An×n называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля: A ≠ 0 .

Определение 3

Пусть A - квадратная матрица n -ого порядка. Обратной для матрицы A называется матрица, обозначаемая A−1 , для которой выполняются равенства: A A−1 = A−1 A = E .

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Обратная матрица имеет такой же порядок, что исходная матрица.

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Матрицы A и A−1 - коммутативны.

Определение 4

		A11	A12	K A1n
Матрица		A	A	K A	,	элементами которой		являются алгебраические
	С =	21	22	2n
		K	K	K K
		An1	An2	K Ann
						a11		a12	K a1n
дополнения	соответствующих			элементов		a		a	K a	, называется
						матрицы A =	21	22	2n
						K		K K K
						an1		an2	K ann

союзной к матрице A .

Теорема 2

Если A - квадратная невырожденная матрица, то для нее существует обратная матрица

A−1 , такая что: A−1 = 1A CT , где C - союзная матрица.

Доказательство

1) A−1 существует, так как A ≠ 0 по условию.

15

a11

a12

K a1n

2)

Рассмотрим матрицу

A

:

a

a

K a

составим союзную матрицу

A = 21

22

2n ,

n×n

K

K K K

an1

an2

K ann

A11

A12

K A1n

A11

A21

K An1

A A

K A

и

транспонируем

ее:

A A

K A

. Вычислим

С =

21

22

2n

CT =

12

22

n2

K K K K

K K K K

An1

An2

K Ann

A1n

A2n

K Ann

					a11	a12	K a1n A11		A21	K An1
произведение: A A−1 = A	1	CT =	1		a21	a22	K a2n A12		A22	K An2	= (по
	A		A
				K K K K				K K K K
					an1	an2	K ann	A1n	A2n	K Ann

																																											A				0 K 0								1 0 K 0
																																															A
																																										0										0				0
9-ому и 10-ому свойствам определителя)																																				=		1											K						= 0 1 K			= E .
																																						A
																																									K K K K														K K K K
																																										0 0									A					1
																																																	K						0 0 K
Из этого следует, что матрица A−1																									=					1			CT
																																						действительно является обратной.
																														A
Пример
																																										1				2			3
		Найти обратную матрицу для матрицы:																																		A = −2										1			4 .
																																									−3					− 4			1
Решение
		Вычислим														определитель:																	A		= 30 ≠ 0 .													Найдем							союзную	матрицу:
					1			4					−			−2	4					−2			1
					−4 1											−3 1						−3 −4
																																	17								−10					11
							2	3							1		3							1	2
C = −																				−										=						−14						10					−2		.						Транспонируем			ее:
							−4 1							−3 1										−3 −4
																																				5					−10					5
						2		3								1	3						1		2
													−
						1		4								−2	4							−2	1
			17							−14 5																										1		17								−14			11
	T																														−1
C		=	−10					10								−10 . Получим: A																	=								−10					10			−10			.
																																				30
			11 −2													5																						11 −2											5

16