ТР№2 Пределы

Типовой расчет №1

Теория пределов

Задача 1-2.

На языке окрестностей (" ε―δ ") сформулировать определения предела функции в точке и одностороннего предела, соответствующие символическим равенствам.

Задача 3-7.

Вычислить пределы функций (не пользуясь правилом Лопиталя).

Задача 8.

Определить порядок функций f1(x) и f2(x) относительно x, предварительно установив, являются ли они в точке x0, бесконечно малыми или бесконечно большими. Сравнить функции f1 и f2 . Выделить главную часть.

Задача 9.

Определить характер функций (б.б., б.м.) f1(x), f2(x), f3(x) в точке x0 и выделить главную часть.

Задача 10.

Исследовать функции f1(x), f2(x) на непрерывность, установить тип точек разрыва и сделать графики функций в окрестности точек разрыва..

									Вариант 1
	1.	lim f ( x) = −3
		x→5
	2.	lim log4 (x −2) = −∞
		x→2+0
	3.	lim			x 3 + 2x 2 −4x −8
					x	3	+8
		x→ −2
	4.	lim( x 2 − 2x −1 − x 2 −7x +3)
		x→±∞			2 sin x −1
	5.	lim
					sin 6x
		x→π	6
					ln(4x −1)
	6.	lim
					1 −cosπ x −1
		x→1	2

5 ctg2 x

7.limx→0 6 − cos x

8.а) f1(x) = 3arcsin(2x2 + x4 ),

б) f	2	(x) = tg 2	x (1 −cos 2 x ),	x = 0
				0

9.

10.

а)

б)

в)

а)

f (x) =	3cos 4x	, x
1	esin 2x −esin x	0

f	2	(x) = (3x2 +1) tg						π	, x
								5x		0
f3 (x) = tg 3πx,							x0 = 2
			sin x,				x < 0 ,
f1					3 ,
			(x) = x				0 < x ≤ 2 ,
					1
						,	x > 2
			2		− x

=0,

=∞

б)	f 2 (x) =			x + 2			+ x
				x + 2

Вариант 2

1. lim f ( x) = +∞

x→3−0

2.

lim

1

= 0

x

x→−∞

3.

lim

x2 −8x +12

x

3

−7x

2

+6x

x→6

4.

lim

x 2 −25

2 −

x −1

x→5

1 − sin

x

5.

lim

2

π − x

x→π

6.

lim

ln(x 2

+ 2x) − ln(x 2

+3)

x

x→∞

e

−1

x2 −1

1

7.

lim(2 −cos3x)

ln(1+x2 )

8.

x→0

а)

f1(x) = sin π(x +5),

б) f

2

(x) = (e3x −1)2

,

x = 0

1

0

9.

а) f1(x) =

,

x0 =1,

x2 − x +1 −1

б)

f

2

(x) = (2x +3)(x +3

x ),

x

= ∞

0

в)

f

3

(x) = cos x −3 cos x ,

x = 0

0

2 , x < 0

4 − x

x −2

10.

а)

f1 (x) =

4e x , 0

< x

≤ 4

б)

f 2

(x) = x + 2

x −2

1

,

x > 4

−4

x

Вариант 3

1. lim f (x) = −∞

x→+0

1

2. lim (x −1)2 = +∞

x→1

2x2 + x −1

3. lim x 3 − 3x −2

x→−1

4.

lim

4 x − 2

x − 4

x→16

5.

lim

ln(1 − 7x)

sin(π (x + 7))

x→0

π

6.

lim

tg(3 x

−3)

3cos

3x

x→π

−1

2

7.

lim(cos x)

ctg 2 x

sin 3x

x→2π

8.

а)

f (x) = sin(x x +e2x −1),

1

(x) = x tg3

б)

f

2

x ,

x = 0

0

9.

а)

f (x) = ln(13 −3x2 ),

x = −2,

1

0

б)

f

2

(x) = (x2 −3x)tg2x2 , x = 0

0

в)

f

3

(x) = x x (x + x2 +1) , x = ∞

0

1

,

x < −3

x +3

x

10.

а)

f1(x) =

x

+3,

−3 ≤ x ≤ 0 ,

б) f2

(x) =

x2 −9

2

,

x > 0

x

Вариант 4

1.

lim f (x) = 0

x→+∞

2.

limex = 1

x→−0

3.

lim

(1 + x)3

−(1 + 3x)

x

+ x

5

x→0

4.

lim(x + 3 1 − x 3 )

x→∞

5.

lim

3x+1 −3

ln(1 + x

1 + xe

2 x

)

x→0

sin

x 2

6.

lim

π

2

sin x+1

− 2

x→π

sin

πx

7.

lim (2 − x )

2

ln(2−x)

x→1

8.

а)

f (x) = 5x3 +3x2arctgx,

1

(x) = (x3 −1)2 + 2x6 ,

б) f

2

x = ∞

0

9.

а)

f (x) = tg 2 x −sin2 x, x

= 0,

1

1

0

б)

f2 (x) =

,

x0 =1

(1 − x2 )sin πx

в)

f3 (x) =ln(x + 2) −ln x,

x0 = ∞

x2 + 2x,

x < 0

10.

f

(x) =

− x3, 0 < x < 2 ,

б) f

(x) =

1

а)

2

1

x ≥ 2

(x −2)(x +1)

x +3,

Вариант 5

1.

lim f (x) = 0

x→ −∞

2.

lim

1

= +∞

x + 4

x→−4+0

3.

lim

x 3 + 2x 2

− x − 2

x

2

+ x

x→−1

4.

lim

x +13 − 2 x +1

x

2

−9

x→3

5.

lim

sin(α + x) −sin(α − x)

x→0

x

6.

lim

tg(x +1)

x→−1 e3 х3 −4х2 +6 −e2

2x −1

1

3 x −1

7.

lim

x

x→1

8.

а)

f (x) = ln(1 + x2 + x5 ),

1

б) f2 (x) = 3x + x x ,

x0 = 0

9.

а)

f (x) =1 −cos3 x, x

= 0,

1

3x +7

0

б)

f

2

(x) =

,

x = −3

x2

− x −12

0

в) f

3

(x) = 4 x4 + x2 + x3 ,

x = ∞

0

ex ,

x < 0

cos x −1

10. а)

f1(x) =

x

+1,

0 < x ≤ 2 ,

б) f2

(x) =

x2

1

,

x > 2

−2

x

Вариант 6

	1.	lim f (x) = +∞
		x→ −∞
	2.	lim arcsin x = −π2
		x→−1+0
	3.	lim	(x2 + 2x −3)2
					3	+	4x	2	+3х
		x→−3 x
	4.	lim(				x 2	+4 − x +3)
		x→∞
	5.	lim		sin 3x − sin 2x
				ln(1 +2tg3x)
		x→0

6.

lim

x2 − 3x + 3 −1

sinπ x

x→1

3x +2

7.

lim(2ex−2 −1 ) x −2

x→2

8.

а)

f (x) = (3x +1)arctg4x2 ,

1

б) f

2

(x) = x x2

+1,

x = 0

0

9.

а)

f (x) = sin

x (e2

x −1),

x

= 0,

1

x +3

0

б) f

2

(x) =

,

x =1

(x3 −

1)2

0

в)

f

3

(x) = sin

1

arcsin

2x

,

x

= ∞

3 x

5x2 +3

0

0,

x < −1

1

10.

а)

f1(x) =

x

,

x

≤1

,

б)

f2 (x) =

1

−1) ,

x >1

5 + 2 x

ln(x

Вариант 7

1.

lim f (x) = 1

x→ −1

2.

lim log0,5 х = +∞

x→+0

3.

lim

(2x2 − x −1)2

x

3

+ 2x

2

− x

−2

x→1

4.

lim

3 8 +3x − x2 −2

3 x2 + х3

x→0

5.

lim

cos2x −cos x

x→0

1 −cos x

6.

lim

ln(x 2

−1) − ln(x +1)

3

x −1 −1

x→2

lim(cos

x )

1

7.

x

x→+ 0

8.

а)

f1(x) = ln(1 +

x sin x),

б) f

2

(x) = e2x −1,

x = 0

0

9.

а)

f (x) = e2x +e−x −2, x = 0,

1

x −3

0

б)

f

2

(x) =

, x = 2

sin2 πx

0

в)

f

3

(x) = (2x2 +3x) arctg3x2 ,

x

= ∞

0

3,

x < −3

1

10. а)

f1(x) =

x

,

−3≤x≤ 3 ,

f2 (x) =

б)

1

6 − x ,

x > 3

5 +3x

Вариант 8

1.

lim f (x) = 2

x→ −∞

2.

lim tg x = +∞

x→

π

−0

2

3.

lim

x 4 − x 3 + x −1

2x

2

− x −1

x→1

4.

lim

1 −2x − x 2

−(1 + x)

x

x→0

5.

lim

esin 2 x

− esin x

x→0

tg3x

6.

lim

ln(x + 2)−ln(2x −1)

x→3

sin πx

3

[

]

7.

lim

1 −ln(1 + x3 )

x 2 arcsin x

x→0

8.

а) f (x) = x2 +3 x + 4x3,

1

(x) = x2 −2x +3,

б) f

2

x = ∞

0

9.

а)

f (x) = ln(1 + 2sin

x +tg 2 x),

x

= 0,

1

(x) = tg πx ,

0

б) f

2

x = 5

2

0

в)

f

3

(x) =

x

sin

2

,

x = ∞

x2 +5

x

x

0

x2,

x ≤ 0

1

1

1

10.

а)

f1(x) =

,

0 < x <

,

б)

f2

(x) = arctg

x2

2

x2 −1

4 ,

x >

1

2

Вариант 9

1.	lim f (x) = 4
	x→ −2
2.	lim log2 X = −∞
	x→+0

3.

lim

x 3 −3x + 2

x

3

− x

2

− x +1

x→1

4.

lim

x +1 − 1 − x

7

x

x→0

cos(x +

5π

)

tg x

5.

lim

2

arcsin 2x

2

x→0

6.

lim

ln(5−2 x)

10−3x −2

x→2

1

lim(cos x)

7.

х

x→0

8.

а) f (x) = x2 +3 x +1,

1

(x) = x2 +5x +1,

б) f

2

x = ∞

0

9.

а)

f1(x) = tgx −2sin

x ,

x0 = 0,

б)

f

2

(x) =

2x +3

,

x = π

sin 3x

0

в)

f3 (x) = ln(x2 + x) −ln(x2 +1),

sin x,

x ≤ 0

10. а)

cos x ,

0 < x ≤ π,

f1(x) =

1

,

x > π

x −π

x0 = ∞

б) f2 (x) = x2 − x3 x −1

Вариант 10

1.

lim f (x) = +∞

x→ 0

2.

lim arcsin x = π2

x→1−0

3.

lim

x 2 + 2x −3

x

3

+

4x

2

+ 3x

x→−3

4.

lim

3

x −1

1 + x −

2x

x→1

5.

lim

1 −cos2x

cos7x −cos3x

x→0

6.

lim

ln(5 −2x)

10 −3x −2

x→2

7.

lim

arctg

2 x

2

2 −3

sin x

x→0

8.

а) f (x) = x2 +6x,

1

б)

f2 (x) = ln(1 + 2 tg x) ,

x0 = 0

9.

а)

f1(x) = arcsin 3x −sin 4x, x0 = 0,

б) f

2

(x) =

2x −1

,

x = −3

ln(4 + x)

0

в) f

(x) =

2x2

−3x3 + 4

x +5

, x

= ∞

3

x2

+ 4x

0

x +1,

x ≤2

x

10.

а)

f

(x) =

11,

2 <x <4 ,

б) f

(x) = 2 x

2

−1

x2 −6x +

2

1

2x −5 ,

x >4

Вариант 11

1. lim f (x) = +∞

x→ −∞

2. limsin x =1

x→π2

3.

lim

(x2 + 2x −3)2

3

+ 4x

2

+3x

x→−3 x

4.

lim

3

x −6 +2

x +2

x→−2

5.

lim

x2 −2x

tg[2π(x +0,5)]

x→0

6.

lim

ln 2x −ln π

sin

5x

cos x

x→

π

2

2

5

1 / tg2 x

7.

lim

6 −

x→0

cos x

8. а) f (x) = 6x3 + x6 +1,

1

б) f

2

(x) = 3

x9 +1 + x2 ,

x = ∞

0

9.

а) f

x2

x

= 0,

(x) = e

−1 sin 2x,

1

1

0

б) f2

(x) =

,

x0 = −3

ln2 (x2

−8)

в) f

3

(x) =

2

tg

3

,

x = ∞

x2 + x

x

0

−x,

x ≤ −1

10. а) f

1

x+

1

(x) =

,

−1 < x <0

,

б) f

2

(x) = e

x

1

x

2

−

2x

+x ,

x ≥0

Вариант 12

1. lim f (x) = +∞

x→3−0

2. lim log1 x = −∞

x→+∞ 3

3. lim		x4 −1
	2x	4	− x	2	−1
x→1

4.

lim

9 + 2x −5

3

x→8

x −2

5.

lim

ln cos2x

sin

2

3x

x→0

5x−3

2x2

6.

lim

3

−3

ln(5x2 −4x)

x→1

1

7.

lim

5 −

4

sin2

3x

(

cos x )

x→0

8.

а) f1(x) = (e2x −1)2 ,

б) f2 (x) =1 −cos3 x ,

9.

а) f (x) = 5 1 +3 x −1,

1

2x +1

б) f2

(x) =

x3 + 2x2 + x)

x0 = 0 x0 = 0,

, x0 = −1

1

(x) = arctg 4x e

−1

в)

f

2 x

,

x

= ∞

3

0

1

,

х<−2

х+2

10. а)

1

f (x) = 0,

−2 ≤x <0

б)

f

2

(x) = e

x +1

1

sin x, 0 <x <∞

Вариант 13

1.

lim f (x) = −∞

x→3+0

2.

lim

1

= 0

x

x→+∞

3.

lim

x3 −3x −2

3

+ 2x

2

− x −2

x→−1 x

4.

lim(3

(x +1)2 − 3 ( x −1)2 )

x→∞

5.

lim

sin 7πx

x→2 tg8πx

6.

lim

ax2 −a2 −1

tg ln a

x→a

x

7.

lim x2

2 −cos x

x→0

8.

а) f (x) = sin 3 x (1 −cos

x ),

1

б) f2 (x) = tg(π(x −5)) ,

x0 = 0

9.

10.

а) f (x) =	x +6	, x = 3,
1	2x −8	0

б) f		2		(x) = x−1(ln(x +1)−ln x),						x
										0
в)	f3(x) = x2 + 2x +3sin2 x −4tgx ,
						−x2
							, x <0
							0 < x < π,			f
а)	f		(x) =		tgx,				б)		2
	1							2
						x,	x ≥	π
								2

= ∞ x0 = 0

(x) = e4 x −1 x

Вариант 14

1.lim f (x) = 3

x→−∞

2.limlog2 (x −1) = −∞

x→1+0

3.

lim

x3 + 4x2 +3x

x→−3

x2 + x −6

4.

3

(x +1)

2

−

3

(x

−1)

2

lim

x→∞

5.

lim

2sin x −

3

x→π

cos

3x

3

2

6.

lim

arcsin

x+2

2

x→−2 3 2+x+x2 −9

7.

lim(2 −ex2 )

1

1−cos πx

x→0

8.

а) f (x) = 4−3x2

−1

1

б)

f2 (x) = sin 5x −3sin 2x ,

x0 = 0

9.

а)

f

(x) =

1

,

x = π

1

xsin 3x

0

б) f

(x) =

(2x +

3)3 (3x −2)3

x = ∞

2

,

x4 +1

0

в)

f

3

(x) = arctg(

4 + x2 −2) ,

x = 0

0

3x +1, x <1

x −

1

10.

а)

f1(x) =

2,

1 < x ≤ 3

б)

f2

(x) = 2

x

2x +

x > 3

lg(x −3),

Вариант 15

1.

lim f (x) = +∞

x→3+0

2.

lim

1

= 0

x→−∞ x2

3.

lim

x4 −1

+1

x→1 x3 − x2 − x

4.

lim

1 − x −3

2 +3 x

x→−8

5.

lim

1 + xsin x −cos 2x

x→0

sin2 x

6.

lim

x2 − x +1 −1

ln x

x→1

lim[1 −ln(1 +3

x

7.

x )]

sin 4 3 x

x→0

8.

а)

f (x) = arctg (x2 +3x) ,

1

б) f2 (x) =1 − 3x +1 , x0 = 0

9.

а) f (x) = 1 + x2 +3x −1,

x = 0 ,

1

0

5x

б)

f

2

(x) = 2

cos2

x−1

− 2 −5х ,

x = π 2

1

0

в)

f

3

(x) = x2 +

x sin

, x

= ∞

x

0

3,

x < −3

1

10.

а)

f1(x) = | x |,

−3 < x ≤ 3

б) f2

(x) = arctg

x +3

−3),

x > 3

ln(x

Вариант 16

1.

lim f (x) =1

x→10

2.

lim3x = +∞

x→+∞

3.

lim

x3 −8

x→2 x3 + 2x2 −4x −8

4.

lim(

(x + a)(x +b)− x)

x→±∞

5.

lim

1 +cos πx

x→1

tg

2

πx

6.

lim

esin 2 6 x −esin 2 3x

x→

π

log3 cos 6x

3

7.

lim(3 −2cos x)−cos ec2 x

x→0

8.

а)

f1(x)

=

1

,

−

3x +

1

1

б)

f

2

(x) =

1

,

x = 0

3x2

+ 2x

0

9.

а)

f (x) = 3 x + 2 −2 ,

x = 6 ,

1

3cos 2x

0

б)

f

(x) =

,

x

= 0

2

1 −4−sin 2x2

0

в) f

3

(x) = 2x2

−3 x8 −5x2 +1 , x = ∞

0

1,

x < 0

10.

1

а)

f

(x) = cos x,

0 < x < π

б) f

2

(x) =

1

π

x2 −4

x ≥ π

х ,

Вариант 17

1.	lim f (x) = 4
	x→ −∞
2.	lim			1	= −∞
				x +5
	x→−5−0
3.	lim		(x3 −2x −1)2
				(x4 + 2x +1)
	x→ −1
4.	lim			1 +3x2 −(1 + х)
					3 x
	x→0

5.

lim

1 − cos x

x

x→0 xsin2

6.

lim

x2 − x +1 −1

tgπx

x→1

sin x

1

x−3

7.

lim

x→3

sin 3

8.

а)

f (x) =1 −cos10x2 ,

1

б)

f2 (x) = 1 + x −1 ,

x0 = 0

9.

а)

f (x) = ln(1 + 2x

x +3x2 ) ,

1

1

б) f

2

(x) =

,

x = 3

2x −8

0

1

в)

f3(x) = arctg3x sin

,

x + 2x2

x3,

−∞ < x < 0

10. а)

f

(x) =

0

≤ x < 4

x2 +1,

1

lg(x

−4),

x > 4

x0 = 0 ,

x0 = ∞

б) f2 (x) = x + x + 2 x + 2

lim f (x) = 0

Вариант 18

1.

x→ +∞

2.

lim

1

= −∞

x +3

x→ −3−0

3.

lim

x4 + 2x +1

x→ −1

x2 − x −2

4.

lim

3 x −6 + 2

x→ −2

x3 +8

5.

lim

1 − cos x

x

x→0

1 −cos

6.

lim

2cos2 x −1

π

2

ln sin x

x→

2x −1

1

5

x −1

7.

lim

x

x→1

8.

а) f (x) = x3 5x3 + 4 x12 +1,

1

(x) = (x2 −1)2 − x4 ,

б) f

2

x = ∞

1

0

9.

а) f

(x) =

,

x =1 ,

1

sin πx

0

б) f

x

2

+1

x = ∞

2

(x) = x x x +

,

0

в)	f3 (x) = sin 2				x ( tg 3x − 2 tg 5x) ,			x0 = 0
	2,			x < −2					2x
10. а)							б) f2	(x) =
	f1(x) = | x |,					| x |< 2
									sin x
			1		,	x > 2
			−2
	x