Методические рекомендации

Министерство образования и науки Украины Сумский государственный университет

К печати в свет
разрешаю на основании
“ Единых правил”,	п.2.6.14
Заместитель первого проректора – начальник
организационно –	методического управления	В.Б. Юскаев

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

квыполнению контрольной работы по курсу «Теория вероятностей

иматематическая статистика»

для студентов экономических специальностей заочной формы обучения

Все цитаты, цифровой и фактический материал, библиографические сведения проверены, написание единиц соответствует стандартам

Составители:

А.М. Назаренко, О.А. Литвиненко, А. А. Васильев, О.А. Шовкопляс

Ответственный за выпуск	В.Д. Карпуша
Декан факультета	С.М. Верещака

Суми Изд-во СумГУ 2007

3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

квыполнению контрольной работы по курсу «Теория вероятностей

иматематическая статистика»

для студентов экономических специальностей заочной формы обучения

Сумы Изд-во СумГУ

2007

4

Методические указания к выполнению контрольной работы по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов экономических специальностей заочной формы обучения /Составители: А. М. Назаренко, О. А. Литвиненко, А. А. Васильев, О. А. Шовкопляс. – Сумы: Изд-во СумГУ, 2007. – 111 с.

Кафедра моделирования сложных систем

5

Учебное издание

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

квыполнению контрольной работы по курсу «Теория вероятностей

иматематическая статистика»

для студентов экономических специальностей заочной формы обучения

Составители:		доцент	А.М. Назаренко,
	доцент	О.А. Литвиненко,
	ассистент А.А. Васильев,
	ассистент О.А. Шовкопляс
Ответственный за выпуск			зав. каф. МСС В.Д.
Карпуша
Редакторы			Т.Г. Чернышова
Компьютерный набор
Подп. в печ.	поз.
Формат 60х84/16. Бумага офс. Печать офс.
Усл. печ. л.	Уч.– изд. л.
Тираж 400 экз.		Себестоимость изд.
Заказ №

Издательство СумГУ при Сумском государственном университете 40007, Сумы, ул. Р.-Корсакова, 2

Свидетельство о внесении субъекта издательского дела в Государственный реестр

ДК № 2365 от 08.12.2005 г.

Напечатано в типографии СумГУ 40007, Сумы, ул. Р.-Корсакова, 2

6

Введение

Принятие оптимального решения в бизнесе, науке и управлении требует от квалифицированного специалиста глубоких знаний математико-статистических методов, позволяющих изучать закономерности сложных массовых явлений и процессов. Поэтому изучение курса «Теория вероятностей и математическая статистика» является важным элементом, необходимым для профессиональной деятельности современного экономиста.

Данные методические указания охватывают основные разделы курса теории вероятности и математической статистики, читаемого в Сумском государственном университете.

Материал методических указаний разбит на восемь тем.

Вкаждой теме имеются примеры решения типовых задач, снабженные формулами и пояснениями, необходимыми для успешного усвоения заданного материала. В конце каждой темы приведен перечень задач для отчета преподавателю, предназначенный для контроля знаний. Обобщая опыт работы многих преподавателей, задачи разбиты на три блока (Блок А, Блок В, Блок С). Контрольные задания для студентов выдаются преподавателем в индивидуальном порядке. Они могут формироваться из задач любого блока.

Вконце изучения курса проводится контроль знаний студентов, который может включать собеседование по контрольной работе, собеседование по основным определениям, формулам и принципам их применения, а также тестовый контроль знаний.

Вданных методических указаниях приведен пример теста с указанием правильных ответов. Его можно использовать для самоконтроля знаний.

Вконце приведен список рекомендуемой литературы и приложения, в которых содержится справочный материал, необходимый при решении задач.

Данные методические указания предназначены для студентов заочной и вечерней форм обучения экономических специальностей, однако они могут быть рекомендованы и всем желающим самостоятельно изучать курс теории вероятностей и математической статистики.

7

Тема 1 Определение вероятности

Существуют различные определения вероятности случайного события: статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое.

Классическое определение вероятности случайного собы-

тия связано с испытанием, организованным следующим образом: а) испытание содержит конечное число исходов; б) все исходы испытания равновозможны и несовместны.

На основании логического анализа условия задачи следует установить множество всех различных исходов испытания, проверить условие их равновозможности и несовместности, подсчитать общее число случаев n и число m случаев, благоприятствующих событию. Тогда вероятностью события A называется число

P( A) = m . n

При небольших n все случаи могут быть перечислены непосредственно и среди них несложно указать те, которые благоприятствуют событию A . Однако в большинстве задач не удается этого сделать. В подобных случаях используют правила и формулы комбинаторики.

Элементы комбинаторики

Пусть дано множество из n различных элементов. Подмножества, содержащие m элементов этого множества (0 ≤ m ≤ n) , мо-

гут различаться или хотя бы одним элементом, или порядком следования элементов, или и тем и другим. По этим признакам определяются такие виды подмножеств: размещения, перестановки, сочетания.

Размещениями из n элементов по m называют упорядоченные подмножества n-элементного множества, состоящие из m эле-

ментов. Число всех размещений Anm из n элементов по m определяется по формуле

Anm = n × (n -1) ×... × (n - m +1) . 8

Из определения видно, что размещения различаются как самими элементами (хотя бы одним элементом), так и порядком этих элементов.

Например, необходимо вычислить, сколькими способами можно из бригады в 8 человек выбрать бригадира и мастера. При решении этой задачи следует применять формулу числа размещений, так как группы типа: Иванов – бригадир, Петров – мастер и Иванов – мастер, Петров – бригадир – различны. Иско-

мое количество способов равно A82 .

Размещения из n элементов по n называют перестановками из n элементов. Очевидно, что различные перестановки отличаются между собой только порядком элементов. Число перестановок подсчитывается по формуле (по определению 0!= 1)

Pn = n!

Если из всех размещений из n элементов по m отобрать только те, которые отличаются хотя бы одним элементом (порядок неважен), то получатся подмножества, называемые сочетания-

ми. Число Cnm сочетаний из n элементов по m вычисляется по формулам

Cnm =	Am		n!
	n	, или Cnm =		.
	Pm		m! (n - m)!

Например, необходимо вычислить, сколькими способами можно выбрать 5 чисел из 36 в карточке "Спортлото", чтобы 3 числа были "счастливыми". Из условия следует, что выбор трех "счастливых" чисел должен быть из числа пяти "счастливых", и каждый такой набор должен сочетаться с двумя "несчастливыми", выбранными из оставшегося 31-го "несчастливого" числа. Таким образом, искомое количество способов равно

C53 × C312 (по правилу произведения), так как очевидно, что поря-

док выбора чисел непринципиален.

Размещениями с повторениями называют упорядоченные по-

следовательности, составленные из n элементов по m в каждой, где некоторые элементы (или все) могут быть одинаковы. Число

Anm размещений с повторениями равно nm .

9

Например, необходимо вычислить, сколькими способами можно распределить 7 пассажиров лифта по 4 этажам.

Очевидно, что на каждом из 4 этажей может выйти любое количество пассажиров, а общее число способов равно числу раз-

мещений с повторениями из 4 элементов по 7: A47 = 47 .

Пусть размещения с повторениями содержат n элементов и при этом элемент a1 повторяется n1 раз; элемент a2 – n2 раз; ...,

элемент ak – nk раз ( n1 + n2 +…+ nk = n ). Такие упорядоченные

последовательности называют перестановками с повторениями.

Их число

n!

Pn (n1 , n2 ,..., nk ) = n1! × n2! ×... × nk ! .

Если опыт состоит в выборе с возвращением m элементов множества, содержащего n элементов, но без последующего упорядочения, то различными исходами такого опыта будут всевозможные m-элементные наборы, отличающиеся составом. При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы. Получающиеся в результате данного опыта комбина-

ции называют сочетаниями с повторениями. Их число

Cnm = Cnm+m−1 .

Например, в кондитерской имеется 7 видов пирожных. Сколько различных наборов по 4 пирожных можно составить? Очевидно, что в данном случае следует использовать формулу

числа сочетаний с повторениями C74 = C107 .

Рассматривая задачу, необходимо выяснить, каким требованиям удовлетворяют комбинации элементов. Только после этого можно использовать нужные вычислительные формулы, комбинируя их с правилами суммы и произведения.

Геометрическое определение вероятности. Число элемен-

тарных событий в данном испытании может быть бесконечным, тогда классическое определение вероятности не применимо. Одним из примеров бесконечного множества элементарных событий является случай, когда элементарные события непрерывно заполняют некоторую область (например, отрезок, часть

10

плоскости, некоторый объем в пространстве). В этих случаях

пользуются геометрической вероятностью P( A) = m(g) , где m(G)

m(G) – мера множества всех элементарных исходов, которое

занимает некоторую область G (например, длина всего отрезка, площадь всей области, объем всего тела), m(g) - мера части множества, которая благоприятствует событию A .

Решение типовых задач Задача 1. На 5 карточках разрезной азбуки написаны буквы

п, р, с, о, т. Перемешанные карточки вынимаются наудачу по одной и располагаются в одну линию. Какова вероятность прочесть слово "спорт"?

Решение. Искомую вероятность события А (можно прочесть

слово "спорт") определим по формуле P( A) = m . Здесь общее n

число всевозможных исходов n = 5! – число перестановок из 5 элементов. Благоприятствующим исходам отвечает одно слово

"спорт", т. е. m = 1. Таким образом, P( A) =	1	=		1	.
			120
5!

Задача 2. Из 9 карточек, занумерованных разными цифрами, выбираются наудачу 3. Найти вероятность того, что последовательная запись их номеров показывает возрастание.

Решение. Трехзначные числа – упорядоченные тройки элементов из 9 цифр – есть размещения из 9 по 3, т.е. n = A39= 504 .

Число благоприятных исходов m = C93 = 84 . Следовательно, искомая вероятность P( A) = 84 / 504 = 1/ 6 .

Задача 3. Среди 17 студентов группы, в которой 9 юношей, производится розыгрыш 7 билетов лотереи, причем каждый студент может выбрать только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов будет 4 девушки?

Решение. Обозначим событие А – среди 7 обладателей билетов будет 4 девушки. Количество равновозможных способов

выбора по 7 человек из 17 равно n = C177 = 19448 .

11

Число благоприятных исходов, т. е. число выборок по 7, в которых 4 девушки сочетаются с 3 юношами, определяется по

правилу произведения m = C 4	× C3	= 70 ×84 = 5880 . Тогда иско-
8	9

мая вероятность P( A) = 5880 » 0,302 . 19448

Задача 4. В секцию магазина поступило 10 велосипедов, из которых 4 – с дефектами. Наудачу взяты 3. Найти вероятность того, что среди взятых будут: а) все без дефектов; б) все одинакового качества.

Решение. а) Событие А – все 3 наудачу взятые из 10 велоси-

педов без дефектов. Число возможных исходов n = C3	= 120 .
10

Три велосипеда без дефектов можно выбрать из 6 имеющихся

m = C3 = 20					способами.	Искомая	вероятность
6
P( A) =	20	=	1	» 0,167 .
120		6
б) Событие В –					все 3 велосипеда одного качества, т.е. или

3 годные, или 3 с дефектами. Три годные из 6 можно выбрать

m = C 3		= 20 способами, а 3 с	дефектами из	4 имеющихся
1	6
m = C3		= 4 способами. Общее число способов выбора 3-х вело-
2	4
сипедов		одинакового качества	по правилу	суммы равно

m = m1 + m2 = 20 + 4 = 24 . Следовательно, P( A) = 24 /120 = 0,2 . Задача 5. Тонкую иглу (точку) бросают на отрезок [a,b]. Ка-

кая вероятность того, что она попадет на отрезок [α , β ]?

Решение. По условию игла может упасть в любую точку указанного отрезка. В данном случае перечислить все точки отрезка невозможно. Воспользуемся геометрическим определением и в качестве меры выберем длину отрезка m(G) = b − a . Интере-

сующему нас событию благоприятствует ситуация, когда игла

упадет в любую точку отрезка [α , β ]. Тогда							m(g) = β − α .
							P( A) = β − α
a α			β
					b		b − a
					12