Определители

Число, место и комбинация - три взаимно пе­рекрещивающиеся, но отличные сферы мыш­ления, к которым можно отнести все матема­тические идеи.

Дж. Сильвестр

Термин «определитель» (перевод с латинского слова «determinant») в со­временном его значении ввел в 1815 г. 0. Коши, хотя как математический инст­румент исследования систем линейных уравнений определитель был открыт еще Г. Лейбницем, который в 1693 г. получил с его помощью формулы решения систем линейных уравнений с невырожденной основной матрицей. Спустя поч­ти три четверти века его результаты повторил швейцарский математик Г. Кра­мер, и они вошли в историю под названием «правила Крамера» решения систем линейных уравнений. Универсальность этих идей Лейбница и Крамера подтверждается тем, что спустя 20 лет после Крамера независимо от предшественников те же формулы получил Ж. Л. Лагранж. Примерно в то же самое время идея оп­ределителя возникла в работах французского математика Э. Безу (Bezout Etienne, 1730 - 1783) при решении чисто геометрической задачи (отыскание плоской кривой, проходящей через заданные точки). Но еще интереснее то, что, как утверждают историки науки, задолго до Безу, Крамера, Лагранжа, Гаусса и даже Лейбница, по крайней мере еще в 1683-м году в Японии определители ис­пользовал Сени Коба, математик, чьи труды до недавнего времени были совер­шенно неизвестны в Европе.

Первое систематическое и обширное изложение теории определителей дал А.Вандермонд в 1772 г., ему же принадлежит ряд самостоятельных иссле­дований и интересных результатов в этой области, а определитель вида | (a_j)^i-1 | вошел в историю математики под названием «определитель Вандермонда». Следует отметить, что фундаментальные работы 1812-го года еще двух фран­цузских математиков 0. Коши и Ж. Бине (Binet Jacques Philippe Marie, 1786 -1856) сыграли немаловажную роль в этой теории и привлекли к ней внимание многих европейских ученых XIX века, в частности А. Кзли и немецкого мате­матика К. Г. Якоби (Jacobi Carl Gustav, 1804 - 1851). Собственно, только после работ Кэли определители, так же как и матрицы, стали самостоятельным объек­том интереса математиков, ему же принадлежит одно из современных обозна­чений определителей: |aⁱ_j |, Якоби ввел так называемые функциональные опре­делители (с элементами - переменными величинами (функциями)), указал на их связь с заменой переменных в кратных интегралах и с решениями дифференци­альных уравнений в частных производных. Его статьи «De formatione et pro-prieatibus determinantum» («О построении и свойствах определителей») и «De deteminan tabus functionalibus» («О функциональных определителях»), опубли­кованные в 1841 г., сделали теорию определителей общим достоянием матема­тики. Английский ученый Дж. Сильвестр в его честь назвал якобианом диффе­ренцируемой функции f функциональный определитель

.

• Не менее знаменит и другой функциональный определитель,

составляемый из производных n функций – вронскиан: |f_i(x)^(i-1)| изучением и приложениями которого впервые занялся польский математик Ю. Вронский (Wronski Jozef Maria, 1776 - 1853).

Исторический обзор был бы неполон без упоминания работ в этой облас­ти французского ученого (математика, механика, физика и астронома) П. С. Ла­пласа (Laplace Pierre Simon, 1749 - 1827), его знаменитая теорема о разложении определителя в сумму произведений элементов и их алгебраических дополне­ний дает возможность индуктивного (рекуррентного) построения определите­лей.

Укажем еще, что теория определителей сама послужила основой и дала жизнь новому и сложному разделу современной геометрии - теории инвариан­тов. Любопытны приложения определителей в аналитической геометрии даже в ее начальных разделах: во-первых, функциональными определителями второго и третьего порядков могут быть заданы прямая и плоскость относительно соот­ветствующих аффинных систем координат. А числовые определители тех же порядков имеют изящную геометрическую интерпретацию: так, оказывается, модуль определителя в прямоугольной декартовой системе координат равен площади параллелограмма, построенного на представителях свободных векторов= (a¹,a¹) и = (b² ,b²), a модуль аналогичного определителя третьего порядка может быть истолкован как объем параллелепипеда, построенного на трех векторах: = (а¹, а¹, а¹), = (b², b², b²), = (с³, с³, с³) в трехмерном евклидовом пространстве. А в многомерных евклидовых пространствах с определителем, составленным из скалярных произведений базисных векторов, связано понятие объема многомерного параллелепипеда. Он назван определителем Грама в честь датского математика И. Грама (Gram Jorgen Pedersen, 1850 - 1916), занимавше­гося исследованиями таких пространств.

В терминах определителей выражаются векторное и смешанное произве­дения векторов, которые имеют много содержательных приложений в механике и физике. И можно сказать, что теория определителей, как и теория матриц, яв­ляется удивительно универсальным аппаратом математики и ее приложений, связывая их общими идеями.