Векторные пространства

Господь Бог - искусный математик и физик. Задача науки состоит в том, чтобы раскрыть блистательный замысел творца.

М. Клайн. «Математика - утрата определенности»

Многие историки науки считают «родителями векторного пространства» ирландского ученого XIX в. У. Гамильтона, о вкладе которого в математику мы уже упоминали, говоря об истории открытия матричного исчисления, а также его немецких коллег и современников Г. Грассмана (Grassman Herman Gunter, 1809 - 1887) и А. Мебиуса (Mobius August Ferdinand, 1790 - 1868). Даже сам термин «вектор» ввел также Гамильтон около 1845 г, (по другим источникам - в 1864 г).

Между тем историю векторного исчисления, как историю и корни всякой крупной математической теории, можно проследить задолго до его выделения в самостоятельный раздел математики. Так еще у Архимеда (А, приблизительно в 287 -212 г. г. до н. э.) в его всем известном со школы законе присутствует величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением. Более того: векторный характер сил, скоростей и перемещений в пространстве был знаком многим ученым Античного времени, а «правило параллелограмма» сло­жения векторов было известно еще в IV в. до Р. X. математикам школы Аристотеля. По существу, в таком же эмпирическом смысле векторами пользо­вались выдающиеся ученые XVI - XVII в. в. Г. Галилей (Galilei Galileo, 1564 -1642), И. Ньютон и другие их современники. Вектор обычно изображался от­резком с указанным на нем направлением, т. е. направленным отрезком.

В середине XVI в. были открыты, и в конце концов все же заслужили признание мнимые числа благодаря работам итальянского математика Дж. Кардано (Cardano Girolomo, 1501 - 1576), а затем комплексные - его соотечествен­ника Р.Бомбелли (Bombelli Raffael, 1530 - 1572). Оказалось удивительно удач­ным изображение их векторами (направленными отрезками), отложенными от начала некоторой прямоугольной декартовой системы координат на плоскости, в том смысле, что таким же образом довольно естественно изображались ре­зультаты основных операций с такими числами: их суммы (по «правилу парал­лелограмма») и произведения. Этим же геометрическим представлением суммы комплексных чисел пользовался Гаусс. Но такая их интерпретация окончательно утвердилась в математике со второй половины XVIII столетия только после исследований датского ученого К. Весселя (Wessel Caspar, 1745 -1818) и швейцарца Ж. Аргана (Argand Jean Robert, 1765 - 1822), в результате ко­торых многим стало ясно, что структура векторов и их приложений гораздо бо­гаче и разнообразнее, чем предполагалось ранее. Прежняя механистическая концепция вектора перестала удовлетворять науку. А последовавшие работы Гаусса (1831 г.) по геометрии комплексных чисел позволили итальянскому ма­тематику Дж. Беллавитису (Bellavitis Jinsto, 1803 - 1880) в 1854 г., развив идеи эквиполентности, подготовить основание для того, чтобы математика смогла перейти от свободных (геометрических) векторов к абстрактному векторному пространству.

Параллельно с исследованиями комплексных чисел в работах многих ма­тематиков ХVII - ХVIII в. в., занимавшихся геометрическими проблемами, можно увидеть нарастание потребности в неком геометрическом исчислении, подобном численному (исчислению действительных чисел), но связанному с пространственной системой координат. Его в какой-то мере пытался создать еще Лейбниц, продумывая свою «универсальную арифметику», но несмотря на гениальность и необычайную широту интересов, сделать это ему не удалось. Однако уже к концу XVIII в. отдельные идеи векторного исчисления, которое и стало тем исчислением, что искали геометры, смог сформулировать француз­ский ученый (математик и физик) Л. Карно (Camot Lasar, 1753 - 1823). А в 30-х годах XIX в. у Гамильтона и Грассмана в работах по теории комплексных чисел и кватернионов эти идеи были сформулированы уже совершенно прозрачно, хо­тя, по существу, что удивительно, они имели дело только с некоторыми приме­рами тех конечномерных векторных пространств, которые теперь бы мы назва­ли - координатными (арифметическими). Но последователи разыскали и рас­смотрели в работах этих ученых то, что каждый из них уже вполне четко пони­мал и представлял структуру абстрактного векторного пространства. Во всяком случае около 1846 г. и Кэли и Грассман уже достаточно непринужденно поль­зовались его свойствами, причем, как отмечает И. Бурбаки в «Elements d'histoir des mathematique» («Очерки по истории математики»): «не прибегая ни к какому метафизическому понятию». А Грассман, опубликовав в 1844 г. свое «Die Line-ale Ausdehnungslehre» («Учение о линейном продолжении»), заложил основы не только многомерной евклидовой геометрии, но и тех мощных разделов матема­тики, которые теперь носят названия векторного и тензорного исчислений. Од­нако, они получили свое современное оформление только к рубежу XIX и XX столетий благодаря усилиям американского математика Д. Гиббса (Gibbs Josian Willard, 1838 - 1903), английского - 0. Хевисайда (Heaviside Oliver, 1850 - 1925) и итальянца Дж. Пеано (Peano Guiseppe, 1858 - 1932). Последний, оценив от­крытие Грассмана, дал в статье, опубликованной в 1888 г. в Турине: «Calcolo geometrico secondo 1'Ausdehnungslehre di Grassmann, preceduto dalle operazione della logica deduitto» («Геометрическое исчисление «Учения о продолжении Грассмана», построенное логически дедуктивно») аксиоматическое определе­ние векторного пространства над полем действительных чисел.

Так называемые функциональные векторные пространства привлекли внимание математиков уже в начале нашего века после инновационных резуль­татов в этой области итальянца С. Пинкерля (Pinkerle Salvator, 1853 - 1936) и немецкого математика 0. Теплица (Teoplitz Otto, 1881 - 1940), который известен своими работами по теории матриц и, в частности, тем, что придумал удачную общую модель векторного пространства - координатное векторное пространст­во. Полезно еще отметить, что именно Хевисайд ввел в 1891 г. одно из закре­пившихся в научной литературе обозначений вектора: а (полужирными латин­скими буквами), автором двух других общепринятых ныне обозначений векто­ров: а и был Ж. Арган, адля обозначения свободного вектора предложил А. Мебиус. Термин «скалярный» в современном смысле впервые употребил У.Гамильтон в 1843 г.

Любопытен тот факт, что один из «отцов векторного исчисления» Г.Грассман более века назад предложил рассматривать цветовые ощущения (разложение любого цвета на красный, синий и желтый), как векторы некоторо­го трехмерного «цветового пространства», что и составляет основу современно­го учения о цвете.