Глава III .Задачи нелинейного программирования в процессе оптимизации ресурсов и принятия решений.

Как известно целевая функция f(x) имеет максимум (минимум) в точке х*, если в достаточной близости от этой точки (в ее окрестности) всем значениям х (как большим так и меньшим х*) составляющим значения f, меньшие (большие), чем f (х*) . Максимум и минимум целевой функции объединяются в одно понятие экстремум.

Так как в практических задачах оптимизации каждая переменная х_j не может применятся от нуля до бесконечности, то для них задаются граничные условия a_j≤ x_j ≤ b_j, в пределах которых может находиться искомое значение x_j и целевая функция приобретает наибольшее, наименьшее и экстремальное значения ( часто наибольшее или наименьшее значение целевой функции, представляя оптимум, отличаются от экстремума и находятся на границе) . Что касается нелинейных задач, то для них наибольшее или наименьшее значения целевой функции находятся только на границе. Наибольшее (наименьшее) функций на границе не удовлетворяют приведенному выше описанию максимума (минимума). Поэтому наибольшее или наименьшее значение функции на границе без учета того, где находится такое значение (внутри заданного интервала или на границе) , называют не экстремумом , а оптимумом. Оптимум – более широкое понятие, чем экстремум. Если экстремум есть не у всех функций, то в практических задачах оптимум существует всегда, причем он может быть как локальным так и глобальным.

Рис 1.

Примеры Экстремумов и оптимумов – экстремум ● - оптимум.

К задачам оптимизации в нелинейном программировании относятся задачи безусловной и условной оптимизации.

Задачами безусловной оптимизации называются такие, в которых задается лишь одна целевая функция F = f(х_j) → max (min) , без указания ограничений и граничных условий ( эти задачи носят теоретический характер, так как на практике граничные условия задаются всегда). Поэтому в такого рода задачах при отсутствии граничных условий оптимума и экстремума совпадают и для нахождения оптимума в них применяют методы нахождения экстремума.

Задачами условной оптимизации называются такие, когда, целевой функции, в них задаются некоторые дополнительные условия, которые должны быть выполнены. Ограничения могут быть заданы как в виде уравнений, так и в виде неравенств.

3.1. Аналитические методы решения задач безусловной оптимизации.

Для того чтобы найти экстремум функции одной переменной F= f(x), необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Найти первую производную;

2. приравнять ее к нулю;

3. решить данное уравнение, найти x*;

4. найти вторую производную и определить знаки этой производной в точке x* : если вторая производная отрицательна, то x* - точка максимума, а если вторая производная положительна, то точка x* - точка минимума.

В случае функции двух переменных действует следующий алгоритм: если задана целевая функция F = f (x₁, x₂) → min, то необходимо найти частные производные и решить систему

_{∂F ∂F}

— = 0; — = 0; корни которой и являются координатами точки минимума

^∂x₁ ^∂x₂

функции.

Пример: найти минимум функции вида:

F= (x₁-5)²/2+(x₂-3)²/3 +4  min.

Решение:

_∂F

— = 2(х₁ -5) / 2; x₁* - 5 =0; x₁* =5;

^∂x₁

_∂F

— = 2 (x₂ – 3) / 3; x₂* - 3 =0; x₂* = 3;

^∂x₂

при этом имеем, что min F = (5 – 5)² /2 + (3 - 3)² /3 + 4=4