ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Тихонов Э.Е. Методы прогнозирования в условиях рынка

570
560
550
540
530
520
510
500
490
480
0	5	10	15	20	25
			y = 0,1535x2 - 2,7873x + 515,96

Исходный временной ряд
Полиномиальный (Исходный временной ряд)
Рисунок 2.9. Нахождение МНК-оценки параболического тренда
	по данным временного ряда xt
Экспоненциальные средние 1-го, 2-го и 3-го порядка
	St = αxt + βSt−1;
	St[2] = αSt	+ βSt[−21];			(2.12)
	St[3] = αSt[2] + βSt[−31]
Зависимость ошибки прогноза от величины
Ошибка	коэффициента сглаживания
прогноза
200,00
150,00
100,00
50,00
0,00
0,00	0,20	0,40	0,60	0,80	1,00
					альфа
Рисунок 2.10. Определение оптимального значения α
		81

	Начальные условия определяются по следующим формулам:
				S	0	= aˆ	−	β aˆ			2,0			+	β(2 −α)aˆ		3,0	;					(2.13)
						1,0		α							2α2
				S [2]		= aˆ	−	2β aˆ					2,0	+	β(3 − 2α)aˆ			3,0		;			(2.14)
				0		1,0		α							α2
				S [3]		= aˆ	− 3β aˆ							+	3β(4 −3α)aˆ								(2.15)
				0		1,0		α				2,0			2α2				3,0
	Оценка модельного (прогнозируемого) значения с периодом уп-
реждения τ находим из выражения
ˆ• =	[6	β2 +	(6	− α α τ +α2τ					2	]			St−τ		− 6β2	+ 2(5 −					4α)ατ +	St[−2τ]	+
xt				5	)								2β2									2β2
															2α2τ 2
																							(2.16)
+[2β2 +(4 −3α)ατ +α2τ 2 ]2Sβt[−3τ]2 .
	Как и в предыдущих примерах, определяем оптимальное значение
коэффициента сглаживания (см. рисунок 2.10). С учетом полученного
оптимально значения α = 0,1 ( Е = 9,06) построим прогноз (см. рисунок
2.11).
						Прогнозирование на основе
	580				полиномиальной модели (р =2)
	560
	540
	520
	500
	480
	460
	440
		0				5			10						15						20	25
						Исходный ряд									Прогнозный временной ряд
				Рисунок 2.11. Прогноз на основе модели (р = 2)

82

Задания для самостоятельного выполнения.

1.Используя данные таблиц Приложения Б, построить про-

гноз для адаптивной полиномиальной модели нулевого (р=0), первого (р=1), второго (р=2) порядков.

2.Подобрать оптимальные параметры прогнозных моделей.

3.Рассчитать ошибку прогнозирования, дополнительно руководствуясь теоретическими положениями, приведенными в Приложении А.

2.3. Прогнозирование с использованием модели Уинтерса (экспоненциального сглаживания

с мультипликативной сезонностью и линейным ростом)

Данную модель удобно использовать при небольшом объеме исходных данных. Допустим, мы имеем количество родившихся в каждом квартале (тыс. чел.) за два года (n = 8). Данные об этом представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1. Исходные xt и расчетные значения количества родившихся по кварталам (2003-2005 гг.).

			Квартал				xt
			(фаза		ˆ				*		*
t	Год	Цикл kt	цикла)	xt	xt		xˆt		xˆt	Ошибка	( xt − xˆt	)
			νt
1			1	499	483,91	1,031			508,28	1,9%	9,28
2	2003	1	2	475	475,36	0,999			486,55	2,4%	4,55
3			3	452	466,82	0,968			452,32	0,1%	0,32
4			4	415	458,27	0,906			422,58	1,8%	7,58
5			1	481	449,72	1,070			457,84	4,8%	23,16
6	2004	2	2	467	441,17	1,059			443,15	5,1%	23,85
7			3	431	432,63	0,996			422,95	1,9%	8,05
8			4	412	424,08	0,972			397,88	3,4%	14,12
9	2005	3	Прогноз						448,16	Дисперсия: 56,04
									σ:		7,49

Требуется определить расчетные значения и прогноз (при t = 9) количества родившихся, воспользовавшись моделью экспоненци-

83

ального сглаживания с мультипликативной сезонностью и линейным ростом (модель Уинтерса) при периоде упреждения τ = 1 и параметрах адаптации α1 = 0,2; α2 = 0,3 и α3 = 0,4.

Сезонная модель Уинтерса с линейным ростом имеет вид

xt = a1,t fνt kt +εt ,

(2.17)

где xt – исходный временной ряд t = l,2,...,n;

a1,t – параметр характеризующий линейную тенденцию развития процесса, т.е. средние значения уровня исследуемого временного ряда xt в момент t;

fvtkt – коэффициент сезонности для vt фазы kt-го цикла; vt =1,2,…,l

где vt=t-l(kt-1);

l – число фаз в полном цикле (в месячных временных рядах l =12, в квартальных l =4 и т.д.);

εt – случайная ошибка. Обычно предполагается, что вектор

ε Nn (0,σ 2 In ), где ε = (ε1 ,...,εt ,...,εn )T

In – единичная матрица размерности (п×п).

Адаптивные параметры модели оцениваются с помощью рекуррентной экспоненциальной схемы по данным временного ряда хt, состоящего из п наблюдений

aˆ

=α

1

xt

+

(1 −α)(aˆ

+ aˆ

2,t−1

)

1,t

fˆvt ,kt −1

1,t−1

x

fˆvt .kt

=α2

+ (1 −α2 )fˆvt ,kt −1

t

(2.18)

aˆ

1,t

aˆ

2,t =α3 (aˆ1,t − aˆ1,t−1 )+ (1−α3 )aˆ2,t−1

xˆ•

= (aˆ

−τ

+τaˆ

2,t−τ

)fˆ

t

1,t

vt ,kt −1

где a2,t – прирост среднего уровня ряда от момента t - 1 к моменту t; xˆt• = xˆτ (t) – расчетное значение временного ряда, определяемое для

момента времени t с периодом упреждения τ, т.е. по данным момен-

та (t -τ);

α1, α2, α3 – параметры адаптации экспоненциального сглаживания,

причем (0< α1, α2 α3<1).

При этом увеличение αj (j = 1,2,3) ведет к увеличению веса более

84

поздних наблюдений, а уменьшение αj – к улучшению сглаживания случайных отклонений. Эти два требования находятся в противоречии, и поиск компромиссного сочетания значений составляет задачу оптимизации модели.

Экспоненциальное выравнивание всегда требует предыдущей оценки сглаживаемой величины. Когда процесс адаптации только начинается, должны быть начальные значения, предшествующие первому наблюдению. В нашей задаче предстоит определить начальные условия: aˆ1,0 ; aˆ2,0 ; fˆvt ,0 , где vt =1,2,...,l .

Таким образом, расчетные значения xˆt• являются функцией всех

прошлых значений исходного временного ряда xt, параметров α1, α2 и α3 и начальных условий. Влияние начальных условий на расчетное значение зависит от величины весов αj и длины ряда, предшествующего моменту t. Влияние aˆ1,0 ; aˆ2,0 обычно уменьшается быстрее,

чем fˆ	,	aˆ	и aˆ	2,t	пересматриваются на каждом шаге, а fˆ	,k
v ,0		1,t			v		t
t					t

только один раз за цикл.

Решение.

Первоначально по n = 8 наблюдениям временного ряда xt найдем МНК-оценку линейного тренда xˆt = a0 + a1t . В результате расчета

имеем

xˆt = 492,46 −8,5476 t

Определим начальные условия

aˆ1,0 = aˆ0 = 492,46; aˆ2,0 = aˆ1 = −8,5476

Мультипликативные коэффициенты сезонности нулевого цикла. fˆvt ,0 определим как среднюю арифметическую индексов сезон-

ности xt / xˆt для vt-й фазы в исходном временном ряду

fˆ1,0

=

1,031+1,070

=1,050;

fˆ2,0

=

0,999 +1,059

=1,029;

2

2

fˆ3,0

=

0,968 + 0,996

= 0,982;

fˆ4,0 =

0,906 + 0,972

= 0,939 .

2

2

85

		Регрессия		y = -8,5476x + 492,46
510
490
470
450
430
410
390
0	2	4	6	8	10
Исходный временной ряд			Линейный (Исходный временной ряд)
	Рисунок 2.12. МНК-оценка линейного тренда

Расчеты будем проводить при параметрах адаптации α1 = 0,2; α2 = 0,3; α3 = 0,4 и периоде упреждения τ = 1.

Расчетные значения для 1-го цикла (kt = l,vt = t). Согласно (18) при t = 1 имеем

xˆ•	= (aˆ					+aˆ		2,0		) fˆ		= (492,46 −					8,5476) 1.050 = 508,28
1		1,0								1,0
aˆ		= α				x1			+(1−α				)(aˆ	+ aˆ		)= 0.2		499		+(1−0,2)×
			1			ˆ						1			2,0
1,1													1,0				1,050
						f
						1,0
×(492,46 −8,5476)= 482,14
fˆ		=α				x1		+(1−α				) fˆ		= 0.3			499		+(1−0,3) 1,050 =1,046
					aˆ												482,14
1,1			2								2		1,0
						1,1
aˆ2,1		=α3 (aˆ1,1 −a1,0 )+(1−α3 ) aˆ2,0															= 0.4(482,14 −492,46)+0.6×

×(−8,5476)= −9,255;

86

при t = 2

xˆ• = (aˆ

+ aˆ

2,1

) fˆ

= (482,14 −9,255) 1,029 = 486,55

2

1,1

2,0

aˆ

=α

x2

+ (1−α

)(aˆ

+ aˆ

)= 0,2

475

+ 0.8×

fˆ2,0

1,2

1

1

1,1

2,1

1,029

×(482,14 −9,255)= 470,64

fˆ

=α

x2

+

(1−α

) fˆ

= 0,3

475

+ 0,7

1,029 =1,023

aˆ

470,64

2,1

2

2

2,0

1,2

aˆ2,2

=α3 (aˆ1,2

− a1,1 )+ (1−α3 ) aˆ2,1

= 0,4(470,64 − 482,14)+ 0,6×

×(−9,255)= −10,153

при t = 3

xˆ• = (aˆ

+ aˆ

2,2

) fˆ

= (470,64 −10,153) 0,982 = 452,32

3

1,2

3,0

aˆ

=α

x3

+ (1−α

)(aˆ

+ aˆ

)= 0,2

452

+ 0.8×

1,3

1

fˆ3,0

1

1,2

2,2

0.982

(470,64 −10,153)= 460,43

fˆ

=α

x3

+

(1−α

) fˆ

= 0,3

452

+ 0.7

0.982 = 0,982

aˆ

460,43

3,1

2

2

3,0

1,3

aˆ2,3

=α3 (aˆ1,3

− a1,2 )+ (1−α3 ) aˆ2,2 = 0,4(460,43 − 470,64)+ 0,6 ×

(−10,153)= −10,179

при t = 4

xˆ4• = (aˆ1,3 + aˆ2,3 ) fˆ4,0 = (460,43 −10,179) 0,939 = 422,58

aˆ1,4 = 0,2 0,939415 + 0,8(460,43 −10,179)= 448,63 fˆ4,1 = 0,3 448415,63 + 0,7 0,939 = 0,934

aˆ2,4 = 0,4(448,63 − 460,43)+ 0,6 (−10,179)= −10,825

87

Расчетные значения для 2-го цикла(kt = 2,vt = t-4). Здесь нам понадобятся коэффициенты сезонности, найденные для 1-го цикла

fˆ1,1 =1,046; fˆ2,1 =1,023; fˆ3,1 = 0,982 è fˆ4,1 = 0,934

при t = 5

xˆ5• = (aˆ1,4 + aˆ2,4 ) fˆ1,1 = (448,63 −10,825) 1,046 = 457,84

Т.к. xˆ• относится ко 2-му циклу(kt = 2), при выборе fˆ

исхо-

5

vt ,kt −1

дили, что vt = 5-4 = 1

aˆ

=α

x5

+ (1−α

)(aˆ

+ aˆ

)= 0,2

481

+ 0,8×

fˆ1,1

1,5

1

1

1,4

2,4

1,046

(448,63 −10,825)= 442,24

fˆ

=α

x5

+ (1−α

) fˆ

= 0,3

481

+ 0,7 1,046 =1,058

aˆ

442,24

1,2

2

2

1,1

1,5

aˆ2,5

=α3 (aˆ1,5

− a1,4 )+ (1−α3 ) aˆ2,4 = 0,4(442,24 − 448,63)+ 0,6×

×(−10,825)= −9,053

при t = 6

xˆ6• = (aˆ1,5 + aˆ2,5 ) fˆ2,1 = (442,24 −9,053) 1,023 = 443,15

aˆ	=α					x6		+ (1−α			)(aˆ	+ aˆ		)= 0,2				467	+ 0,8×
						fˆ2,1
1,6		1								1	1,5		2,5			1,023
×(442,24 −9,053)= 437,85
fˆ	=α					x6		+ (1−α			) fˆ	= 0,3			467			+ 0,7 1,023 =1,036
					aˆ
2,2			2						2		2,1			437,85
				1,6
aˆ2,2	= 0,4(437,85 − 442,24)+ 0,6 (−9,053)= −7,187

88

при t = 7

xˆ7• = (437,85 − 7,187) 0,982 = 422,95

aˆ1,7 = 0,2 0,982431 + 0,8(437,85 − 7,187)= 432,30 fˆ3,2 = 0,3 432431,30 + 0,7 0,982 = 0,987

aˆ2,7 = 0,4(432,30437,85)+ 0,6 (− 7,187)= −6,531

при t = 8

xˆ8• = (432,30 − 6,531) 0,934 = 397,88

aˆ1,8 = 0,2 0,934412 + 0,8(432,30 − 6,531)= 428,79 fˆ4,2 = 0,3 428412,79 + 0,7 0,934 = 0,942

aˆ2,8 = 0,4(428,79 − 432,30)+ 0,6 (− 6,531)= −5,323

при t = 9 (прогноз)

xˆ9• = (aˆ1,8 + aˆ2,8 ) fˆ1,2 = (428,79 −5,323) 1,058 = 448,16

Расчетные значения и прогноз xˆt• , полученный по временному

ряду xt, представлены в таблице 2.1 и на рисунке 2.13. Из представленного графика можно сделать вывод, что модель экспоненциального сглаживания с мультипликативной сезонностью Уинтерса более предпочтительна, нежели регрессионная модель.

Результаты прогноза можно улучшить, подобрав оптимальные значения α.

89

	Результаты построения прогноза
530
510
490
470
450
430
410
390
0	2	4	6	8	10
	Исходный временной ряд		Прогнозный временной ряд
	Рисунок 2.13. Результаты прогноза

Задания для самостоятельного выполнения.

1.Используя данные таблиц Приложения Б, построить про-

гноз с использованием модели Уинтерса (экспоненциального сглаживания с мультипликативной сезонностью и линейным ростом).

2.Подобрать оптимальные параметры прогнозной модели.

3.Рассчитать ошибку прогнозирования, дополнительно руководствуясь теоретическими положениями, приведенными в Приложении А.

90