Материалы по курсу эконометрика-1. Подготовил Выдумкин Платон

Вывод: FGLS хороший метод, но не всегда его применение в условиях гетероскедастичности будет успешным. Поэтому в следующей части мы рассмотрим альтернативное решение проблемы.

Устойчивая к гетероскедастичности оценка ковариационной матрицы МНК оценок White 1980.

Выше мы говорили, что наличие в модели гетероскедастичности приводит к двум проблемам. Во-первых, МНК оценки теряют свойства эффективности. Во-вторых, выведенная для условий гомоскедастичности оценка ковариационной матрицы МНК оценок перестает быть верной, и поэтому не работают процедуры проверки гипотез в модели регрессии. Метод FGLS решает обе эти проблемы, но он не всегда хорошо работает. Поэтому мы рассмотрим более простое решение, которое состоит в том, что мы смиряемся с неэффективностью МНК оценок, но при этом используем формулу вычисления ковариационной матрицы, которая будет работать в условиях гетероскедастичности. То есть, из двух проблем решаем только одну.

Рассмотрим, как будет выглядеть оценка ковариационной матрицы МНК оценки β = (X T X )−1 X TY для модели Y = X β +ε , если cov(ε)=Σ, а не cov(ε)= Iσ2 .

(5.35)	cov(β)= (X T X )−1 X T cov(Y )X (X T X )−1 = (X T X )−1 X T ΣX (X T X )−1
Когда	cov(ε)= Iσ2 , у нас все взаимноуничтожалось, и получалась хорошая

формула cov (β)= (X T X )−1 σ2 , а теперь, как мы видим из (5.35), ничего не сокращается.

Кроме того, ковариационная матрица зависит от Σ , которую мы обычно не знаем.

White в 1980 году предложил для случая гетероскедастичности оценивать (5.35)

следующим образом:
(5.36)						cov(β)=(X T X )−1 X T ΣX (X T X )−1
	σ12	0		e12		0
где Σ =				=
	0	2			0	2
		σn				en

Оценка (5.36) будет состоятельной оценкой cov(β), то есть она дает хорошие

результаты в больших выборках. Преимуществом этой оценки является то, что ее можно применять при любом типе гетероскедастичности. Используя диагональные элементы (5.36), можно вычислить устойчивые к гетероскедастичности t-статистики для проверки значимости коэффициентов. Так же существует алгоритм для вычисления устойчивых к гетероскедастичности F-статистики, статистики теста Вальда, множителей Лагранжа и т.д. Корни из диагональных элементов (5.36), часто обозначают сокращением HCSE Heteroskedasticity Consistent Standard Errors, (не путать с HSE=). Так как существует несколько способов их вычисления, то указывают и на автора, например, White HCSE.

Мы говорили, что в cross section данных гетероскедастичность в той или иной степени будет почти всегда. Поэтому встает вопрос, зачем мы вообще считаем обычные стандартные ошибки, а не используем сразу HCSE?.

“One reason they are still used in cross-sectional work is that, if the homoskedasticity assumption holds and the errors are normally distributed, then the usual t statistics have exact t distributions, regardless of the sample size. The robust standard errors and robust t statistics are justified only as the sample size becomes large. With small sample sizes, the robust t statistics can have distributions that are not very close to the t distribution, which could throw off our inference.

15