УЧЕБНИКИ 2 Экономика / Теория систем и системный анализ / Тырсин А.Н. Теория систем и системный анализ. 2002

Глава 6. Методы принятия решений в сложных системах

Необходимость принимать решения, для которых не удается полностью учесть предопределяющие их условия, а также последующее их влияние, встречается во всех областях техники, экономики и социальных наук. В системном анализе, как правило, возникает потребность в принятии сложных решений, последствия которых бывают очень весомы. Если принятия решений в условиях неопределенности ранее нередко удавалось избежать, требуя от заказчика более полную информацию, то, имея дело со сложными системами и процессами, проектант должен сам оценивать и устранять многие неопределенности, уточнение которых он более не может перекладывать на заказчика.

6.1. Основные понятия исследования операций

Операцией называется всякое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом и направленное на достижение какой-то цели.

Цель исследования операций − предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров называется решением. Оптимальными называются решения, по тем или другим признакам предпочтительные перед другими.

Параметры, совокупность которых образует решение, называются

элементами решения.

Множеством допустимых решений называются все решения,

удовлетворяющие заданным условиям.

Показатель эффективности – количественная мера, позволяющая сравнивать разные решения по эффективности.

Все решения принимаются всегда на основе информации, которой располагает лицо, принимающее решение (ЛПР).

Каждая задача в своей постановке должна отражать структуру и динамику знаний ЛПР о множестве допустимых решений и о показателе эффективности.

Задача называется статической, если принятие решения происходит в заранее известном и не изменяющемся информационном состоянии. Если информационные состояния в ходе принятия решения сменяют друг друга, то задача называется динамической.

Следует рассмотреть процесс принятия решений с самых общих позиций. Психологами установлено, что решение не является начальным процессом творческой деятельности. Оказывается, непосредственно акту решения предшествует тонкий и обширный процесс работы мозга, который формирует и предопределяет направленность решения. В этот этап, который можно назвать «предрешением» входят следующие элементы:

71

-мотивация, то есть желание или необходимость что-то сделать. Мотивация определяет цель какого-либо действия, используя весь прошлый опыт, включая результаты;

-возможность неоднозначности результатов;

-возможность неоднозначности способов достижения результатов, то есть

свобода выбора.

После этого предварительного этапа следует, собственно, этап принятия решения. Но на данном этапе процесс не заканчивается, так как обычно после принятия решения следует оценка результатов и корректировка действий. Таким образом, принятие решений следует воспринимать не как единовременный акт, а как последовательный процесс.

Выдвинутые выше положения носят общий характер, обычно подробно исследуемый психологами. Более близкой с точки зрения инженера будет схема процесса принятия решения, включающая в себя следующие компоненты:

-анализ исходной ситуации;

-анализ возможностей выбора;

-выбор решения;

-оценка последствий решения и его корректировка.

Взависимости от степени определенности возможных исходов или последствий различных действий, с которыми сталкивается ЛПР, в теории принятия решений рассматриваются три типа моделей:

-выбор решения в условиях определенности, если относительно каждого действия известно, что оно неизменно приводит к некоторому конкретному исходу;

-выбор решения в условиях риска (частичной неопределенности), если каждое действие приводит к одному из множества возможных частных исходов, причем каждый исход имеет вычисляемую или экспертно оцениваемую вероятность появления. Предполагается, что ЛПР эти вероятности известны или их можно определить путем экспертных оценок;

-выбор решения в условиях неопределённости, когда то или иное действие или несколько действий имеют своим следствием множество частных исходов, но их вероятности не известны или не имеют смысла;

-выбор решения в условиях конфликта или противодействия (активного противника).

6.2. Постановка задач принятия оптимальных решений

Этому классу задач соответствует условие полной определенности ЛПР. Несмотря на то что методы принятия решений отличаются универсальностью, их успешное применение в значительной мере зависит от профессиональной подготовки специалиста, который должен иметь четкое представление о специфических особенностях изучаемой системы и уметь корректно поставить задачу. Искусство постановки задач постигается на примерах успешно реализованных разработок и основывается на четком представлении преимуществ, недостатков и специфики различных методов оптимизации. В

72

первом приближении можно сформулировать следующую последовательность действий, которые составляют содержание процесса постановки задачи:

-установление границы подлежащей оптимизации системы, то есть представление системы в виде некоторой изолированной части реального мира. Расширение границ системы повышает размерность и сложность многокомпонентной системы и тем самым затрудняет ее анализ. Следовательно, в инженерной практике следует осуществлять декомпозицию сложных систем на подсистемы, которые можно изучать по отдельности без излишнего упрощения реальной ситуации;

-определение показателя эффективности, на основе которого можно оценить характеристики системы или ее проекта с тем, чтобы выявить «наилучший» проект или множество «наилучших» условий функционирования системы. В приложениях обычно выбираются показатели экономического (издержки, прибыль и т.д.) или технологического (производительность, энергоемкость, материалоемкость и т.д.) характера. «Наилучшему» варианту всегда соответствует экстремальное значение показателя эффективности функционирования системы;

-выбор внутрисистемных независимых переменных, которые должны адекватно описывать допустимые проекты или условия функционирования системы и способствовать тому, чтобы все важнейшие техникоэкономические решения нашли отражение в формулировке задачи;

-построение модели, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на значение показателя эффективности. Несмотря на то, что модели принятия оптимальных решений отличаются универсальностью, их успешное применение зависит от профессиональной подготовки специалиста, который должен иметь полное представление о специфике изучаемой

системы.

Все оптимизационные задачи имеют общую структуру. Их можно классифицировать как задачи минимизации (максимизации) M-векторного векторного показателя эффективности Wm(x), m=1,2,…,M, N-мерного векторного аргумента x=(x1,x2,...,xN), компоненты которого удовлетворяют системе ограничений-равенств hk(x)=0, k=1,2,…,K, ограничений-неравенств gj(x)>0,

j=1,2,…J, областным ограничениям xli < xi < xui , i=1,2,…,N.

Для принятия решений в условиях определенности разработан и широко используется на практике аппарат, который получил название математического программирования. Задачи математического программирования делятся на:

-задачи линейного программирования (W(x), hk(x), gj(x) − линейны);

-задачи нелинейного программирования (W(x), hk(x), gj(x) − нелинейны);

-задачи целочисленного программирования (x − целочисленны);

-задачи динамического программирования (x − зависят от временного фактора).

73

6.3. Риск и его измерение

Любая сфера человеческой деятельности в особенности экономика и бизнес, связана с принятием решений в условиях неполноты информации. Источники неопределенности могут быть самые разнообразные: нестабильность экономической и политической ситуации, неопределенность действий партнеров по бизнесу, неопределенность спроса на товары, неабсолютная надежность процессов производства, неточность информации, погодные условия и др.

Выбор решения в условиях частичной или полной неопределенности называют игрой с природой. Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников – ЛПР, называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность.

Под риском принято понимать вероятность (угрозу) потери лицом или организацией части своих ресурсов, недополучения доходов или появления дополнительных расходов в результате осуществления определенной производственной и финансовой политики.

Риск подразделяется на динамический и статический. Динамический риск связан с возникновением непредвиденных изменений стоимости основного капитала вследствие принятия управленческих решений, а также рыночных или политических обстоятельств. Статический риск обусловлен возможностью потерь реальных активов вследствие нанесения ущерба собственности и потерь дохода из-за недееспособности организации.

Исследование риска целесообразно проводить в следующей последовательности:

-выявление объективных и субъективных факторов, влияющих на конкретный вид риска;

-анализ выявленных факторов;

-оценка конкретного вида риска с финансовых позиций, определяющая либо финансовую состоятельность проекта, либо его экономическую целесообразность;

-установка допустимого уровня риска;

-анализ отдельных операций по выбранному уровню риска;

-разработка мероприятий по снижению риска.

Мерой риска некоторого решения считают среднее квадратическое отклонение значения показателя эффективности этого решения или операции. Например, в качестве показателя эффективности финансового решения обычно используют прибыль.

Пример 6.1. Пусть имеются два инвестиционных проекта. Первый с вероятностью 0,6 обеспечивает прибыль 15 млн.руб., однако с вероятностью 0,4 можно потерять 5,5 млн.руб. Для второго проекта с вероятностью 0,8 можно получить прибыль 10 млн. руб. и с вероятностью 0,2 потерять 6 млн. руб. Какой проект выбрать?

74

Решение. Оба проекта имеют одинаковую среднюю прибыльность, равную

6,8 млн. руб. (0,6 15+0,4 (-5,5) = 0,8 10+0,2 (-6) = 6,8). Однако среднее квадратическое отклонение прибыли для первого проекта равно 10,04 млн. руб. (0,6 (15-6,8)2+0,4 (-5,5-6,8)2)1/2 = 10,04), а для второго – 6,4 млн. руб. (0,8 (10- 6,8)2+0,2 (-6-6,8)2)1/2 = 6,4), поэтому более предпочтителен второй проект.

6.4. Формальная структура принятия решений в условиях неопределенности

6.4.1. Матрица решений

Принятие решения представляет собой выбор одного из некоторого множества E рассматриваемых вариантов: Ei E. Каждым вариантом Ei однозначно определяется некоторый результат (например, выигрыш, полезность или надежность) ei. Эти результаты должны допускать количественную оценку.

Идет поиск варианта с наибольшим значением результата, то есть целью

выбора	является	max ei . Таким	образом,	выбор оптимального	варианта
		i
производится с помощью критерия
E0 = Ei0 : Ei0 E & ei0 = max ei			.		(6.1)
		i
При рассмотрении сложных структур и систем каждому допустимому
варианту	решения	Ei могут соответствовать		различные внешние	условия
(состояния) Fj и результаты eij решений.

Под результатом eij решения понимают оценку, соответствующую варианту Ei и условиям Fj и характеризующую экономический эффект (прибыль), полезность, надежность и т.д. Такой результат называют полезностью решения.

Семейство решений описывается некоторой матрицей (таблица 6.1)

Таблица 6.1

Матрица решений eij

	F1	F2	…	Fn
E1	e11	e12	…	e1n
E2	e21	e22	…	e2n
…	…	…	…	…
Em	em1	em2	…	emn

Увеличение объема семейства по сравнению с детерминированной ситуацией (одному варианту соответствует одно решение) связано как с недостатком информации, так и с многообразием возможностей. Первоначальная задача максимизации (6.1) должна быть заменена другой, учитывающей все последствия любого из вариантов решения Ei.

75

6.4.2. Оценочная функция

Чтобы прийти к однозначному и по возможности оптимальному решению даже в том случае, когда каким-то вариантам решений Ei могут соответствовать различные условия Fj, можно ввести подходящие оценочные (целевые) функции. При этом матрица решений eij сводится к одному столбцу. Каждому варианту Ei приписывается, таким образом, некоторый результат eir, характеризующий в целом все последствия этого решения.

Процедуру выбора можно теперь представить по аналогии с применением критерия (6.1). Возникает, однако, проблема, какой смысл вложить в результат eir. Способ построения оценочных функций приведен в таблице 6.2.

	Таблица 6.2
E1	e1r
E2	e2r
…	…
Ei	eir
…	…
Em	emr

Ниже приведены различные оценочные функции, а также соответствующие им исходные позиции.

Оптимистическая позиция:

max eir = max(max eij ) .			(6.2)
i	i	j

Из матрицы решений eij (табл.6.1) выбирается вариант (строка), содержащий в качестве возможного решения наибольший из всех возможных результатов. Делается ставка на то, что выпадет наивыгоднейший случай, и исходя из этого выбирается решение.

Позиция нейтралитета:

			1	n
	max eir	= max(		∑eij ) .	(6.3)
	i	i	n j=1

ЛПР исходит из того, что все встречающиеся отклонения результата решения от «среднего» случая допустимы, и выбирает результат, оптимальный с этой точки зрения.

Пессимистическая позиция:

max eir = max(min eij ) .			(6.4)
i	i	j

ЛПР исходит из того, что надо ориентироваться на наименее благоприятный случай и приписывает каждому из альтернативных вариантов наихудший из возможных результатов. При этом выбирается самый выгодный вариант, то есть ЛПР ожидает наилучшего результата в наихудшем случае.

Позиция относительного пессимизма:

min eir	= min max(max eij −eij ) .			(6.5)
i	i	j	i

76

Для каждого варианта решения ЛПР оценивает потери в результате по сравнению с определенным по каждому варианту наилучшим результатом, а затем из совокупности наихудших результатов выбирает наилучший согласно представленной оценочной функции.

Примеры оценочных функций можно продолжить и далее. Некоторые из них получили широкое распространение в хозяйственной деятельности. Так, если условия эксплуатации, внешние факторы заранее неизвестны, ориентируются обычно на наименее благоприятную ситуацию, которой соответствует оценочная функция (6.4). Нередко используются также функции (6.3) и (6.5).

Всякое техническое или экономическое решение в условиях неполной информации – сознательно или неосознанно – принимается в соответствии с какой-либо оценочной функцией. Как только это бывает признано явно, последствия соответствующих решений становятся лучше обозримыми, что позволяет улучшить их качество. При этом выбор оценочных функций всегда должен осуществляться с учетом количественных характеристик ситуации, в которой принимаются решения.

6.5. Классические критерии принятия решений

6.5.1. Максиминный критерий Вальда

Максиминный критерий Вальда (ММ-критерий) использует оценочную функцию (6.4), соответствующую позиции крайней осторожности.

При

Z MM		= max eir
и		i
	= min eij
eir
		j
справедливо соотношение
E 0			: E i0	E & e i0	=				,	(6.6)
		= E i0				max min e ij
						i	j

где ZMM – оценочная функция ММ-критерия.

Правило выбора решения в соответствии с ММ-критерием можно интерпретировать следующим образом.

Матрица решений eij дополняется еще одним столбцом из наименьших

результатов eir каждой строки. Выбрать надлежит те варианты Ei0, в строках которых стоят наибольшие значения eir этого столбца.

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. В соответствии с этим критерием из всех самых неудачных результатов выбирается лучший. Это перестраховочная позиция крайнего пессимизма, рассчитанная на худший случай. Такая стратегия приемлема, например, когда ЛПР не столь заинтересован в крупной удаче, но хочет себя застраховать от неожиданных проигрышей, то есть ЛПР не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Это свойство позволяет считать максиминный

77

критерий одним из фундаментальных. В приложениях он применяется чаще всего. Однако положение об отсутствии риска стоит различных потерь.

Применение ММ-критерия целесообразно, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

-о возможности появления внешних состояний Fj ничего не известно;

-приходится считаться с появлением различных внешних состояний Fj;

-решение реализуется лишь один раз;

-необходимо исключить какой бы то ни было риск, т.е. ни при каких условиях Fj не допускается получать результат, меньший, чем ZMM.

6.5.2. Критерий Байеса − Лапласа

При построении оценочной функции ZMM (по ММ-критерию) каждый

вариант Ei представлен лишь одним из своих результатов eir	= min eij . Критерий
	j

Байеса − Лапласа (BL-критерий), напротив, учитывает каждое из возможных следствий.

Пусть qj – вероятность появления внешнего состояния Fj. Тогда для BLкритерия

Z BL = max eir ,
		i
eir	= ∑n	eij q j ,
	j=1
E0			E & ei0		n	n		(6.7)
	= Ei0 : Ei0			= max∑eij q j & ∑q j =1 .
				i	j=1	j=1

Правило выбора решения в соответствии с BL-критерием следующее.

Матрица решений eij дополняется еще одним столбцом, содержащим

математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты Ei0, в строках которых стоит наибольшее значение eir этого столбца.

При этом предполагается, что ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

-вероятности появления внешних состояний Fj известны и не зависят от времени;

-решение реализуется (теоретически) бесконечное число раз;

-для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск практически исключен.

Исходная позиция при применении BL-критерия оптимистичнее, чем в случае ММ-критерия, однако она предполагает более высокий уровень информированности и достаточно длинные реализации.

78

6.5.3. Критерий минимаксного риска Сэвиджа

Критерий минимаксного риска Сэвиджа реализует оценочную функцию

(6.5). С помощью обозначений

aij		= max eij	− eij
и		i
		= max aij	= max(max eij − eij )
eir
		j	j	i
формируется оценочная функция
Z		= min e	= min max(max e				− e )	,
	S	i ir	i		i	ij
				j			ij

и строится множество оптимальных вариантов решения

E0	= Ei0 : Ei0 E & ei0	= min max aij .
		i	j

(6.8)

(6.9)

Для понимания этого критерия определяемую соотношением (6.8) величину aij можно трактовать по-разному:

-как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в

состоянии Fj вместо варианта Ei выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант;

-как потери (риск), возникающие в состоянии Fj при замене оптимального для него варианта на вариант Ei.

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора решения выглядит так.

Каждый элемент матрицы решений eij вычитается из наибольшего результата maxi eij соответствующего столбца. Разности aij образуют

матрицу остатков (рисков) aij . Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей eir . Выбираются те варианты Ei0 , в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.

По выражению (6.9) оценивается значение результатов тех состояний, которые вследствие выбора соответствующего распределения вероятностей, оказывают одинаковое влияние на решение. С точки зрения матрицы решенийeij критерий Сэвиджа связан с риском, однако, с позиций матрицы aij , он от риска свободен. В остальном, к ситуации принятия решений предъявляются те же требования, что и в случае ММ-критерия.

6.5.4. Критерий азартного игрока

Критерий азартного игрока использует оценочную функцию (6.2), соответствующую позиции крайнего оптимизма.

При

Z A = max eir i

и

eir = maxeij j

79

справедливо соотношение
E0	= Ei0 : Ei0 E & ei0	= max max eij		,
		i j

где ZA – оценочная функция критерия азартного игрока. Правило выбора решения по данному критерию следующее.

Матрица решений eij дополняется еще одним столбцом из наибольших

результатов eir каждой строки. Выбрать надлежит те варианты Ei0, в строках которых стоят наибольшие значения eir этого столбца.

С помощью критерия азартного игрока определяется стратегия, максимизирующая максимальные выигрыши для каждого состояния. Это критерий крайнего оптимизма.

Следует отметить, что ситуации, требующие применения такого критерия в экономике, в общем, нередки, и пользуются им не только безоглядные оптимисты, но и игроки, поставленные в безвыходное положение, когда они вынуждены руководствоваться принципом «или пан, или пропал».

6.5.5. Применение классических критериев

Из требований, предъявляемых рассмотренными критериями к анализируемой ситуации, становится ясно, что вследствие их жестких исходных позиций они применимы только для идеализированных практических решений. В случаях, когда требуется слишком сильная идеализация, можно одновременно применять поочередно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов, отобранных таким образом в качестве оптимальных, приходится всетаки волевым образом выделять некоторое окончательное решение. Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора.

Пример 6.2. При работе ЭВМ необходимо периодически приостанавливать обработку информации и проверять ЭВМ на наличие в ней вирусов. Приостановка в обработке информации приводит к экономическим издержкам. В случае же если вирус вовремя обнаружен не будет, возможна потеря и некоторой части информации, что приведёт к ещё большим убыткам.

Варианты решения таковы: Е1– полная проверка; Е2– минимальная проверка; Е3– отказ от проверки.

ЭВМ может находиться в следующих состояниях: F1– вирус отсутствует;

F2– вирус есть, но он не успел повредить информацию; F3– есть файлы, нуждающиеся в восстановлении.

Результаты (в тысячах), включающие затраты на поиск вируса, его ликвидацию и на восстановление информации имеют вид (табл. 6.3):

80