Конспекты. Blackboard / Тема 3. Дифференцирование

R

R

r

M

h

2E

g h ;

11

2

2

h

M 2E

M

2E

0,

g h 2 h2 ,

g h 0

2 h2

Mh2 4E

0,

h0

4E

2

E

,

2h2

M

M

g h	Mh0		2E		M	2	E		2E M
0	2		h0		2		M		2 E

2ME ,

R

g h

Mh/ 2

2EM

2E / h2

0	h0	h

2E

;

если погрешность округления

r2

h

имеет тот же порядок, что и погрешность аппроксимации

R

Mh

;

11

2

2E

Mh

;

Mh2

E Ο h

2

;

тогда

E

;

h

2

4

с другой стороны, если величина Е задана, тогда должны быть ограничения на h

h h0 2 ME ,

продолжение примера

F f x0 ;

F

y

, y

f x1 f x0

;

h

0

1

h

y0 f x0 , y1 f x1 ;

y

f x

~

f x ;

0

, y

0

1

1

~

y0 y0

y1

y1

y y

~

~

Fh y0 , y1 Fh y0

, y1

Fh y0 , y1 Fh y0 , y1

h

§ 4 Метод Рунге

Для задачи

F f x

построили приближенные формулы Fh

в частности, был рассмотрен пример	Fh	x	f x1	f x0
				h

Остаточный член (погрешность) последней формулы

R11 x f h

2

Последнее представление погрешности очевидным образом вытекает из рассуждений:

f x1 f x0 f x0

x1 x0

f x0

x1 x0 2

f x0

x1 x0 3 ...

3!

2

Отсюда следует, что, например,

f x1 f x0

f x0

f x0

h

f x0

h2

...

h

2

3!

В общем виде погрешность можно представить,

R x ψ x h p Ο h p 1

где ψ x

не зависит от h.

Главный член погрешности

если выбрать шаг rh где r – целое

F F R ψ x rh p Ο rh p 1
rh	rh
F F R x h p Ο h p 1
h	h
вычтем второе равенство из первого
F F x h p r p 1 Ο h p 1
h	rh
x h p		Fh Frh	Ο h p 1
		r p 1

главный член погрешности, который можно вычислить

F F		Fh Frh		Ο h p 1
h			r p 1
F F			Fh Frh		Ο h p1
	h		r p 1

приводим к общему знаменателю

F	r p Fh Frh	Ο h p 1
	r p 1

новая формула численного дифференцирования

Пример

f x1.5

f x2 f x1

f x1.5

f x f

x

3

0

h

3h

F

Fh

x3

F3h

2

x0

x

x

2

x3

r 3

1

Задание №7: доказать, что для (*) и (**)

p 2

в общей формуле погрешности р = 2

32 Fh

F3h

Ο h

3

1

9 f

2 9 f1

f

3 f

0

Ο h

3

F

32

1

8

h

3h

F

1

f

27 f 27 f

f

Ο h3

0

2

3

24h

1

§ 5 Другие постановки задач интерполирования и приближения функций

Пример 1:

Тригонометрическая интерполяция.

Если f(x) периодическая функция с периодом l , то естественно строить приближения с помощью функций

k (x) ak cos kxl bk sin kxl , k 0,1,...,n

Т. о. тригонометрическая интерполяция состоит в замене f(x) тригонометрическим многочленом:

n	x a0	n		kx			kx),
Tn (x) k		(ak	cos		bk	sin
k 0		k 1		l			l