7.3. Энергетический смысл уравнения Бернулли

Заключается в утверждении закона сохранения полной механической энергии единицы массы несжимаемой жидкости

а) при потенциальном течении для любой точки пространства,

б) при вихревом - только вдоль вихревой линии тока и элементарной

струйки.

Этот закон иногда формулируется в виде теоремы трех высот.

В приведенных условиях сумма трех высот - геометрической, пьезометрической и динамической сохраняет неизменное значение.

При этом составляющие полной энергии могут взаимопревращаться.

Следует иметь в виду, что изменение кинетической энергии несжимаемой жидкости вдоль элементарной струйки не может задаваться произвольно: в соответствии с уравнением неразрывности это изменение однозначно определяется изменением площади поперечного сечения канала

.

Течение в горизонтальной струйке имеет большое практическое значение, оно реализуется в соплах двигателей. Запишем уравнение Бернулли при z=const

.

Итак, увеличение скорости несжимаемой жидкости в горизонтальной элементарной струйке всегда сопровождается уменьшением давления, а уменьшение скорости – увеличением давления вплоть до при v=0. Поэтому скоростной напор широко используется, например, для подачи воды в систему охлаждения, разрушения горных пород и т.д.

В связи с тем, что скорость несжимаемой жидкости может уменьшаться только вследствие изменения площади сечения, приходим к важному выводу о том, что картина линий тока при течении несжимаемой жидкости однозначно определяет не только изменение скорости, но и статического давления: при сгущении линий тока давление уменьшается, при расширении - увеличивается. Это правило широко используется при анализе движения жидкости и ее взаимодействии с телами.

7.4. Предел применимости уравнений неразрывности и Бернулли

При течении жидкости по каналу при постоянстве , и при произвольно изменяемой площади 2. Казалось бы, что

.

Однако по уравнению Бернулли при

,

давление должно было бы принять значение минус бесконечность, что лишено смысла: абсолютное давление не может быть меньше нуля.

Таким образом уравнения неразрывности и Бернулли справедливы лишь до тех пор, пока минимальное давление в потоке остается большим нуля.

7.5. Примеры применения уравнения Бернулли.

Рассмотрим примеры применения уравнения Бернулли.

1. Расходомер Вентури

Для определения скорости и расхода жидкости часто используется расходомер Вентури. Измерим статическое давление p₁ и p₂ в поперечных сечениях с различными площадями.

Рис. 29

Интеграл Бернулли для сечений 1 и 2 принимает вид , .

Из уравнения равенства расходов для двух сечений 1 и 2 имеем

или .

Для вычисления показания дифференциального манометра запишем условие равновесия

.

Собирая все результаты, получаем

.

Формула используется для определения скорости в трубе. Hа практике для повышения точности иногда вводят эмпирический коэффициент, учитывающий гидравлические потери в трубке Вентури.

2. Измерение скорости

Для измерения кинетической энергии используется трубка полного давления, которая устанавливается в точке измерения открытым концом против потока жидкости ( рис. 30 ).

Рис. 30

Струйка жидкости, подтекающая к открытому концу трубки, полностью замораживается (v=0) и весь скоростной напор превращается в давление, которое в сумме со статическим достигает давления торможения в данной точке, и называется полным давлением ,

откуда

.

Таким образом измерение скорости жидкости или "несжимаемого" газа (M<a) основано на сопоставлении давления торможения с давлением в невозмущенном потоке. Последнее еще называется статистическим давлением. Приемником давления служит Г-образная трубка, или трубка Пито. Давление обычно измеряют с помощью U-образной трубки, куда залита жидкость манометрическая (спирт, вода, ртуть).

Приемное отверстие статического давления должно находится не слишком далеко от входа в трубку Пито, чтобы не случилось рассеивание механической энергии за счет вязкости, и не слишком близко, чтобы присутствие трубки Пито не искажало статическое давление.