12.3. Уравнение состояния

Опыт показывает, что между основными параметрами, характеризующими состояние газа (давлением, плотностью и температурой), существует определённая зависимость.

Уравнение , устанавливающее связь между этими параметрами, называется уравнением состояния.

Поэтому состояние любого газа определяется двумя параметрами (например, плотностью и температурой), так как третий параметр (давление) можно найти из уравнения состояния.

Для идеального газа уравнение состояния можно записать в виде

,

где R - газовая постоянная, зависящая от относительной молекулярной массы газа m. Для воздуха m = 29, .

Под идеальным газом принято понимать газ, в котором взаимодействие молекул между собой осуществляется посредством упругих столкновений, а линейный размер молекулы по сравнению со средним молекулярным расстоянием мал.

Существенное отличие свойств воздуха от свойств идеального газа наблюдается при высоких давлениях и низких температурах.

12.4. Удельные теплоёмкости газа

Рассмотрим некоторый произвольный термодинамический процесс. Количество теплоты dq, подведенное к 1 кг газа в этом процессе, выразим через приращение температуры газа dT:

.

Множитель c, представляющий собой количество теплоты, необходимое для подогрева 1 кг газа на 1 град в данном процессе, называется удельной теплоёмкостью.

Удельная теплоёмкость существенно зависит от характера процесса.

Рассмотрим теплоёмкости, соответствующие процессам, происходящим при постоянном объёме c_V и давлении c_p. Зависимость между удельными теплоёмкостями идеального газа c_V и c_p определяется следующим соотношением

.

В термодинамике и газодинамике важное значение имеет отношение теплоёмкостей . Величина k зависит от структуры молекулы газа. Так, для идеальных одноатомных газов k = 1.66, для двухатомных газов, в том числе и для воздуха, k = 1.4.

12.5. Первый закон термодинамики

Пусть некоторое количество газа находится в равновесии. Обозначим через dQ количество подведённой к газу извне теплоты. В общем случае подвод теплоты приводит к изменению внутренней энергии газа dU и объёма. При изменении объёма газ совершает внешнюю работу, равную dL=pdV. Поэтому

,

или, относя все величины к 1 кг массы газа, получаем

,

где dq - суммарная теплота, подведенная к 1 кг массы газа извне, du - изменение внутренней энергии 1 кг массы газа, - работа, затрачиваемая на расширение ( 1 / r - объём, занимаемый 1 кг массы газа).

При постоянном объёме dV = 0, dQ=dU или dq=du, т.е. вся теплота, подводимая к газу, тратится на увеличение его внутренней энергии. Поэтому

.

Пренебрегая зависимостью c_V от температуры и имея в виду, что при T=0 u = 0, имеем

.

Внутренняя энергия является одной из функций состояния газа.

Используя формулы

.

Уравнение является математическим выражением первого закона термодинамики.

Энтальпия. Введём ещё одну функцию состояния i, определяемую соотношением

.

Или, пренебрегая изменением c_p,

.

Эта функция называется энтальпией. Из определения энтальпии следует, что её приращение di представляет собой приращение теплоты dq в процессе p=const. Имея это в виду, из первого закона термодинамики , интегрируя его в предположении p=const, получим

.

Используя уравнение состояния и соотношение , имеем

.

Энтропия. При изучении течения газа часто используют понятие энтропии. Эта функция определяется дифференциальным соотношением

.

Найдём связь между энтропией и энтальпией

,

из первого закона термодинамики

следует

.

При скоростях движения жидкости сравнимых со скоростью звука или их превышающих, на первый план выдвигаются эффекты, связанные с сжимаемостью жидкости. Такое движение на практике наблюдается в газах. Поэтому о гидродинамике больших скоростей говорят обычно как о газодинамике.

Чаще всего в газодинамике приходится иметь дело с очень высокими значениями чисел Рейнольдса. За исключением отдельных случаев ( наиболее ярким из которых является отрыв сверхзвукового потока ) при высоких значениях числа Рейнольдса вязкость оказывается не существенной для движения газа практически во всем пространстве. Поэтому в газодинамике часто газ рассматривают как идеальную жидкость.

Движение газа имеет существенно различный характер в зависимости от того, является оно дозвуковым или сверхзвуковым.

С изучением сверхзвуковых течений связано решение ряда практических проблем, возникающих при создании самолетов, ракет, турбин, снарядов, аэродинамических труб для получения потоков со сверхзвуковыми скоростями.