Геометрия_КР_3

Вариант 1.

1. Установить, будет ли треугольник с вершинами А(-3,4), В(-9,6), С(5,2) равнобедренным.

2. В треугольнике АВС известны векторы . Найти площадь треугольника.

3. Найти длину и уравнение высоты BD в треугольнике с вершинами А(-3;0), В(2;5), С(3;2).

4. Даны точки . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

5. Найти канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями .

Вариант 2.

1. Вычислить проекцию вектора на вектор , если заданы координаты точек А(3,3,-2), В(0,2,-4), С(0,-3,4), D(0,-3,0).

2. В треугольнике АВС известны векторы . Найти площадь треугольника.

3. Дан треугольник с вершинами А(-2;0), В(2;4), С(4;0). Найти уравнение и длину медианы АЕ.

4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(1,1,1), В(0,-1,2) и С(2,3,-1).

5. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(-2,1,-1) параллельно вектору .

Вариант 3.

1. Даны векторы . Найти вектор , если он перпендикулярен оси z и удовлетворяет условиям .

2. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах .

3. В треугольнике АВС даны сторона АВ: 3x+2y-12=0, высоты BM: x+2y-4=0 и АМ: 4x+y-6=0, где М – точка пересечения высот. Найти уравнения двух других сторон.

4. Найти расстояние между параллельными плоскостями: 4х-2у+4z+5=0 и 2х-у+2z-7=0.

5. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Вариант 4.

1. Найти вектор , перпендикулярный векторам и удовлетворяющий условию где .

2. Найти синус угла, образованного векторами .

3. Даны уравнения двух сторон параллелограмма y=x-2, x-5y+6=0. Диагонали пересекаются в начале координат. Найти уравнения двух других сторон.

4. Найти расстояние от точки А(5,1,-1) до плоскости х-2у-2z+4=0.

5. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(1,2,0) параллельно прямой .

Вариант 5.

1. В треугольнике АВС известны координаты точки А(2,-1,3), и векторы . Найти координаты вершин В и С.

2. Даны координаты вершин треугольника А(0,2,3), В(-2,1,-3), С(0,3,-2). Найти его площадь и длину высоты, опущенной из вершины А.

3. Даны две вершины треугольника А(-10;2) и В(6;4). Его высоты пересекаются в точке М(5;2). Определить координаты третьей вершины С.

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точку М(2,1,-1) перпендикулярно плоскости 2х-3z=0.

5. Найти угол между прямой и прямой, проходящей через точку М(1,-1,-1) и начало координат.

Вариант 6.

1. Вычислить , если .

2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , где и - единичные вектора, образующие угол 45⁰.

3. Дан треугольник с вершинами А(4;6), В(-3;0), С(2;-3). Найти уравнение биссектрисы АD и ее длину.

4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки перпендикулярно плоскости –х+у-1=0.

5. При каком значении m прямая параллельна плоскости .

Вариант 7.

1. Найти направляющие косинусы вектора , если .

2. Найти объем пирамиды с вершинами в точках А(1,-2,-3), В(0,1,-5), С(-1,2,1), D(2,-1,5).

3. В треугольнике стороны заданы уравнениями x+3y-2=0, 2x+y+5=0 и 3y-4=0. Найти вершины и внутренние углы треугольника.

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-2,3,1) параллельно плоскости ХОУ.

5. Найти угол между прямой и плоскостью .

Вариант 8.

1. Вычислить проекцию вектора на вектор , где .

2. Вычислить , если угол между векторами и равен , .

3. Дан треугольник с вершинами А(2;3), В(-5;1), С(0;-2). Найти уравнение высоты АD и ее длину.

4. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.

5. Найти канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями .

Вариант 9.

1. Найти неизвестные координаты вектора , если он коллинеарен вектору , где А(-1,-2,4), В(1,1,2).

2. Вычислить , если .

3. Дан треугольник с вершинами А(1;5), В(3;1), С(-6;-3). Найти уравнение и длину медианы СЕ.

4. Найти угол между плоскостями 2х-4у+4z-3=0 и х-3у+z=0.

5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(3,4,0) и прямую .

Вариант 10.

1. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

2. Угол между векторами и составляет . Найти длину вектора , если .

3. Дана трапеция с вершинами А(-2;-2), В(-3;1), С(7;7) и D(3;1). Найти уравнение средней линии и острый угол между диагоналями трапеции.

4. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 20х-5у+4z-210=0.

5. Треугольник задан вершинами А(1,1,1), В(0,-1,2) и С(2,3,-1). Найти уравнение медианы, проведенной из вершины А.