Лекции по тоэ/ №16 Анализ переходных процессов в цепи r, c.

    Исследуем характер переходных процессов в цепи R, C при включении ее к источнику а)постоянной ЭДС e(t)=E, б)переменной ЭДС e(t)=E_msin(ωt+α)(рис. 69.1).

    а) Включение цепи R, C к источнику постоянной ЭДС.

    Общий вид решения для напряжения Uc(t):

    Установившаяся составляющая напряжения: Ucу=E.

    Характеристическое уравнение и его корни:

    Независимое начальное условие: Uc(0)=0.

    Постоянная интегрирования:

    Окончательное решение для искомой функции:

    Подсчитаем баланс энергий при зарядке конденсатора.

    Энергия источника ЭДС:

    Энергия, выделяемая в резисторе R в виде тепла:

    Энергия электрического поля конденсатора:

    Таким образом,энергия электрического поля конденсатора составляет ровно половину энергии источника W_эл=W_ист/2

и не зависит от величины сопротивления зарядного резистора R (закон половины).

    Графические диаграммы функций u_C(t) и i(t)показаны на рис. 69.2.

    Характеристическое уравнение и его корень:

    Установившаяся составляющая напряжения:

    Независимое начальное условие: u_C(0)=0

    Определение постоянной интегрирования:

    Как следует из полученного уравнения, амплитуда свободной составляющей A зависит от начальной фазы α источника ЭДС. При α-φ-90°=±90° эта амплитуда имеет максимальное значение A=Amax=(Em·Xc)/Z, при этом переходной процесс протекает с максимальной интенсивностью. При α-φ-90°=0° амплитуда свободной составляющей равна нулю и переходной процесс в цепи отсутствует.

Лекции по тоэ/ №17 Анализ переходных процессов в цепи r, l, c.

    Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом источника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов. Наибольший теоретический интерес представляют свободные составляющие, так как характер свободного процесса оказывается существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными сопряженными.

    Проанализируем переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 70.1).

    Общий вид решения для тока: i(t)=i_y(t)+i_св(t)=Iy+A₁e^p₂^t+A₂e^p₂^t

    Установившаяся составляющая: Iy=0

    Характеристическое уравнение и его корни:

    Дифференциальное уравнение:

    Независимые начальные условия: i(0)=0; u_c(0)=0.

    Зависимое начальное условие:

    Постоянные интегрирования определяется из соместного решения системы уравнений:

    Окончательное решение для тока:

    Исследуем вид функции i(t) при различных значениях корней характеристического уравнения.

    а) Корни характеристического уравнения вещественные, не равны друг другу.

    Это имеет место при условии:

    При изменении t от 0 до ∞ отдельные функции e^p₁^t и e^p₂^t убывают по экспоненциальному закону от 1 до 0, причем вторая из них убывает быстрее, при этом их разность e^p₁^t - e^p₂^t ≥ 0. Из этого следует вывод, что искомая функция тока i(t) в крайних точках при t = 0 и при t = ∞ равна нулю, а в промежутке времени 0 < t < ∞ - всегда положительна, достигая при некотором значении времени t_mсвоего максимального значения I_max. Найдем этот момент времени:

    Графическая диаграмма функции i(t) для случая вещественных корней характеристического уравнения показана на рис. 70.2.

    Продолжительность переходного процесса в этом случае определяется меньшим по модулю корнем: Tп=4/|p_min|.

    Характер переходного процесса при вещественных корнях характеристического уравнения получил название затухающего или апериодического.

    б) Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные.

    Это имеет место при соотношении параметров:

    Решение для исконной функции может быть преобразовано к другому виду:

    Таким образом, в случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения искомая функция i(t) изменяется во времени по гармоническому закону I_msinω₀t с затухающей амплитудой Im(t)=A·e^-bt. Графическая диаграмма функции показана на рис. 70.3.

    Период колебаний T₀=2π/ω₀, продолжительность переходного процесса определяется коэффициентом затухания: Tп=4/b.

    Характер переходного процесса при комплексно сопряженных корнях характеристического уравнения получил название колебательного или периодического.

    В случае комплексно сопряженных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

    где коэффициенты A и ψ или B и C являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

    в) Корни характеристического уравнения вещественные и равны друг другу.

    Это имеет место при условии:

    Полученное ранее решение для искомой функции i(t) в этом случае становится неопределенным, так как числитель и знаменатель дроби превращаются в нуль. Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя, считая p₂=p=const, а p₁=var, которая стремится к p. Тогда получим:

    Характер переходного процесса при равных корнях характеристического уравнения получил название критического. Критический характер переходного процесса является граничным между затухающим и колебательным и по форме ничем не отличается от затухающего. Продолжительность переходного процесса Tп=4/p. При изменении только сопротивления резистора R=var=0…∞ затухающий характер переходного процесса соответствует области значений Rvar (Rkp<Rvar<∞), колебательный характер - также области значений (0<Rvar<Rkp), а критический характер – одной точке Rvar=Rкр. Поэтому на практике случай равных корней характеристического уравнения встречается крайне редко.

    В случае равных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

    где коэффициенты A₁ и A₂ являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

    Критический режим переходного процесса характерен тем, что его продолжительность имеет минимальное значение. Указанное свойство находит применение в электротехнике.