- •Некоммерческое акционерное общество алматинский институт энергетики и связи
- •Теоретические основы электротехники 3
- •Содержание
- •1 Лекция 1. Возникновение переходных процессов, законы коммутации, классический метод расчета переходных процессов
- •1.2 Классический метод расчета переходных процессов
- •2 Лекция 2. Расчет переходных процессов в цепях с одним накопителем энергии
- •3 Лекция 3. Переходные процессы в цепях с двумя накопителями энергии
- •4 Лекция 4. Расчет переходных процессов в разветвленных цепях, интеграл Дюамеля
- •5 Лекция 5. Операторный метод расчета переходных процессов, теорема разложения
- •6 Лекция 6. Схемы замещения элементов, основные законы электрической цепи, расчет переходных процессов операторным методом
- •7 Лекция 7. Основы спектрального анализа электрических цепей
- •8 Лекция 8. Токи и напряжения в длинных линиях, уравнения однородной длинной линии (общий случай), установившийся синусоидальный режим в однородной линии
- •9 Лекция 9. Бегущие волны, уравнения длинной линии в гиперболических функциях
- •10 Лекция 10. Однородная линия при различных режимах работы, линия без потерь
- •11 Лекция 11. Линия без потерь при различных режимах работы
- •12 Лекция 12. Основные понятия о нелинейных цепях, методы анализа нелинейных электрических цепей постоянного тока
- •13 Лекция 13. Графические и аналитические методы анализа нелинейных электрических цепей постоянного тока
- •13.3 Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора
- •14 Лекция 14. Основные понятия и законы магнитных цепей
- •15 Лекция 15. Общая характеристика задач и методов расчета магнитных цепей
- •16 Лекция 16. Нелинейные цепи переменного тока
- •17 Лекция 17. Основные величины, характеризующие электростатическое поле
- •18 Лекция 18. Основные теоремы и уравнения электростатического поля
- •19 Лекция 19. Расчёт электростатических полей
- •20 Лекция 20. Электрическое поле постоянного тока
- •21 Лекция 21. Магнитное поле постоянного тока
- •Список литературы
18 Лекция 18. Основные теоремы и уравнения электростатического поля
Цель лекции: изучить основные теоремы и уравнения для электростатического поля.
18.1 Вектор поляризации
Напряженность электростатического поля ,возбужденного зарядом Q, в вакууме и в непроводящем веществе неодинакова. В непроводящей среде напряженность электростатического поля в раз меньше, чем в вакууме. Изменение напряженности вызывается поляризацией диэлектрика.
Поляризация может происходить различным образом в зависимости от строения молекул диэлектрика. При отсутствии внешнего электрического поля диэлектрик в целом можно считать электрически нейтральным. При наличии внешнего поля диэлектрик перестает быть нейтральным, он поляризуется. Заряды, выявившиеся при поляризации, связаны с молекулами и могут лишь незначительно перемещаться только внутри этих молекул. Такие заряды называются связанными. В отличие от них заряды, которые можно перенести с одного тела на другое, называются свободными. Связанные заряды при поляризации создадут свое поле, напряженность которого будет направлена противоположно напряженности внешнего поля. Поэтому напряженность результирующего поля в диэлектрике будет меньше, чем напряженность внешнего поля.
Степень поляризации диэлектрика характеризуется вектором поляризации , который для однородных и изотропных диэлектриков в относительно слабых полях пропорционален напряженности электрического поля
. (18.1)
Безразмерная величина называется относительной диэлектрической восприимчивостью.
Поляризованность среды показывает, насколько электрическое смещение в данной среде отличается от электрического смещения в вакууме
. (18.2)
Следовательно, .
Поляризованность Р, так же как и электрическое смещение D, в системе СИ измеряется в кулонах на квадратный метр (Кл/м2).
18.2 Теорема Гаусса в интегральной форме
Теорема Гаусса является одной из фундаментальных теорем теории поля. Она гласит: поток вектора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов Q, расположенных в объеме, ограниченном этой поверхностью
. (18.3)
В случае объемного распределения заряда
. (18.4)
Теорема Гаусса запишется в виде
. (18.5)
Если заряд расположен вне объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, то поток вектора сквозь такую поверхность равен нулю.
Теорема Гаусса широко используется при расчете электрических полей.
18.3 Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Преобразуем поток вектора электрического смещения по теореме Остроградского
. (18.6)
Так как по теореме Гаусса
,
то
. (18.7)
Объем V был выбран произвольно, и равенство справедливо для всех его значений. При таком условии подынтегральные выражения должны быть равны и
. (18.8)
Полученное выражение представляет собой дифференциальную форму теоремы Гаусса. Оно отмечает то обстоятельство, что источники электрического поля находятся только в тех местах, в которых имеются электрические заряды.
Для сред с постоянной диэлектрической проницаемостью можно записать
. (18.9)
Дивергенция вектора величина алгебраическая. Ее знак зависит от знака заряда. Формулы(18.8) и(18.9) справедливы и в случае переменного во времени электромагнитного поля.
18.4 Уравнения Пуассона и Лапласа
Электростатическое поле можно рассчитать, пользуясь методом наложения и выражениями напряженности и потенциала поля точечного заряда или пользуясь интегральной теоремой Гаусса. Оба метода расчета применимы только при расчете полей простой конфигурации. В общем случае расчет поля состоит в решении уравнения Пуассона или Лапласа.
Чтобы получить расчетное уравнение, используем соотношения
, .
Подставив значение, получим
. (18.10)
Дивергенцию градиента принято называть лапласианом и обозначать .Следовательно
. (18.11)
В тех точках поля, в которых нет заряда
. (18.12)
Формула (18.11) носит название уравнения Пуассона. Формула (18.12) — уравнения Лапласа.
Решение может быть записано в виде интеграла
. (18.13)
Введение понятия потенциала облегчает расчет электростатических полей. Он сводится к определению одной скалярной функции,зная которую, можно легко определить напряженность поля из выражения
. (18.14)