- •Некоммерческое акционерное общество алматинский институт энергетики и связи
- •Теоретические основы электротехники 3
- •Содержание
- •1 Лекция 1. Возникновение переходных процессов, законы коммутации, классический метод расчета переходных процессов
- •1.2 Классический метод расчета переходных процессов
- •2 Лекция 2. Расчет переходных процессов в цепях с одним накопителем энергии
- •3 Лекция 3. Переходные процессы в цепях с двумя накопителями энергии
- •4 Лекция 4. Расчет переходных процессов в разветвленных цепях, интеграл Дюамеля
- •5 Лекция 5. Операторный метод расчета переходных процессов, теорема разложения
- •6 Лекция 6. Схемы замещения элементов, основные законы электрической цепи, расчет переходных процессов операторным методом
- •7 Лекция 7. Основы спектрального анализа электрических цепей
- •8 Лекция 8. Токи и напряжения в длинных линиях, уравнения однородной длинной линии (общий случай), установившийся синусоидальный режим в однородной линии
- •9 Лекция 9. Бегущие волны, уравнения длинной линии в гиперболических функциях
- •10 Лекция 10. Однородная линия при различных режимах работы, линия без потерь
- •11 Лекция 11. Линия без потерь при различных режимах работы
- •12 Лекция 12. Основные понятия о нелинейных цепях, методы анализа нелинейных электрических цепей постоянного тока
- •13 Лекция 13. Графические и аналитические методы анализа нелинейных электрических цепей постоянного тока
- •13.3 Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора
- •14 Лекция 14. Основные понятия и законы магнитных цепей
- •15 Лекция 15. Общая характеристика задач и методов расчета магнитных цепей
- •16 Лекция 16. Нелинейные цепи переменного тока
- •17 Лекция 17. Основные величины, характеризующие электростатическое поле
- •18 Лекция 18. Основные теоремы и уравнения электростатического поля
- •19 Лекция 19. Расчёт электростатических полей
- •20 Лекция 20. Электрическое поле постоянного тока
- •21 Лекция 21. Магнитное поле постоянного тока
- •Список литературы
4 Лекция 4. Расчет переходных процессов в разветвленных цепях, интеграл Дюамеля
Цель лекции: усвоить расчет переходных процессов в разветвленных цепях классическим методом и при включении цепи на напряжение произвольной формы.
4.1. Расчет переходных процессов в разветвленных цепях классическим методом
Задача решается с помощью уравнений, составленных по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений, которые в последующем и подлежат определению.
Для простоты изложения рассмотрим порядок расчета токов в ветвях разветвленных цепей, который заключается в следующем:
- находим принужденные составляющие тока после коммутации;
- составляем уравнения входного сопротивления Z(p) (в цепи с источником ЭДС) или входной проводимости Y(p) (в цепи с источником тока) для послекоммутационного режима и приравниваем нулю. При этом реактивные сопротивления должны представляться в операторной форме ( или );
- после преобразования получаем характеристическое уравнение, куда
подставляем значения заданных параметров, и находим корни и , которые определяют вид свободных составляющих (). Если корни вещественные, отрицательные и , то для записи свободных составляющих пользуемся уравнением типа (3.4), если = - (3.6), если корни комплексно-сопряженные (), то
, (4.1)
где и - постоянные интегрирования;
- записываем уравнение тока в общем виде:
= ; (4.2)
- для расчета и необходимо еще одно уравнение, для чего возьмем
первую производную тока по времени . Тогда для цепи постоянного тока
; (4.3)
- записываем уравнения тока и его производной при
,
; (4.4)
- по законам коммутации и уравнениям Кирхгофа для цепи после комму-
тации при определяем начальные условия , после чего из (4.4) - постоянные интегрирования и ;
- подставив значения и в (4.2), находим закон изменения тока во времени
в конкретной ветви схемы.
Методика расчета напряжений аналогична вышеизложенному.
Рассмотрим в качестве примера цепь рисунка 4.1.
Рассчитываем принужденную составляющую тока
.
Составляем уравнение входного сопротивление цепи после коммутации и приравниваем его нулю .
После преобразования получаем характеристическое уравнение
. (4.5)
Пусть в результате подстановки заданных параметров в (4.5) и его решения корни и получились комплексно-сопряженными. Тогда свободной составляющей тока соответствует уравнение (4.1).
Записываем уравнение искомого тока в общем виде
= (4.6) и берем первую производную , которая идентична (4.3).
При имеем следующее
, (4.7)
. (4.8)
По законам коммутации определяем начальные значения тока и напряжения на конденсаторе
, (4.9)
. (4.10)
Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа при
- для внешнего контура
; (4.11)
- для контура -
.
Находим ток
, т.е. .
С учетом последнего равенства из (4.11) находим
. (4.12)
Из уравнения (4.7) следует
. (4.13)
Поделив правую и левую части (4.8) на , получим:
,
откуда легко рассчитать , а после - значение .
Наконец, из (4.13) находим постоянную интегрирования .
Подставив в (4.6) числовые значения, получим итоговое выражение .
4.2 Включение цепи на напряжение произвольной формы
При включении любой цепи на постоянное напряжение ток в этой цепи во время переходного процесса можно записать в следующем виде
, (4.14)
где – переходная проводимость цепи. Она зависит от времени и от параметров цепи, но не зависит от величины .
Наглядное представление о g(t) можно получить, приняв = 1 В.
Следовательно, равняется току переходного процесса при включении цепи на постоянное напряжение, равное 1 В.
Переходную проводимость можно определить для каждой заданной цепи
или классическим методом, или операторным, который будет рассмотрен позже. Например, ток при включении цепи на постоянное напряжение (см. рисунок 1.1) получился равным . Следовательно, переход-
ная проводимость . Отметим, что если цепь включается под напряжение в момент времени > 0, то . (4.15)
При этом является моментом начала переходного процесса, а начальные условия ставятся для .
Покажем, что, зная переходную проводимость цепи, можно определить ток в этой цепи при включении ее к источнику любого непрерывно меняющегося во времени напряжения . Пусть имеет форму, показанную на рисунке 4.2 и требуется, зная , найти ток .
(если ветвь падающая).
Частичный ток от равен , а частичный ток от , включенного в некоторый момент , будет .
Проведем в точке касательную к кривой . Тангенс угла ее наклона к оси абсцисс равен производной функции в данной точке, т.е. . С учетом того, что , частичный ток от
будет равен . (4.16)
Переходя к бесконечно малым интервалам и суммируя все частичные токи, получим
. (4.17)
Выражение (4.17) – интеграл Дюамеля.
Наряду с указанной существует еще 5 форм записи этого интеграла
, ,
, . (4.18)
Из всех форм записи чаще пользуются одной из первых четырех - той, у которой при решении конкретной задачи подынтегральное выражение будет проще.