1. Основные понятия и определения

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области D плоскости Oxy задана непрерывная функция z = f(x,y).

Рис. 1

Разобьем эту область произвольным способом на n частичных областей с площадями ,, … ,. Диаметры этих областей обозначим,, … ,. (Диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области.) Выберем в каждой элементарной области произвольную точку и умножим значение функции в точкена площадь этой области.

Интегральной суммой для функции f(x,y) по области D называется сумма вида

…+ . (1)

Если при неограниченном увеличении n (n , max ) интегральная сумма имеет определенный конечный предел

I = , не зависящий от способа разбиения D на элементарные области и от выбора точек в пределах каждой из них, то этот предел называетсядвойным интегралом от функции f(x,y) в области D и обозначается следующим образом:

I = = . (2)

Двойной интеграл обладает всеми основными свойствами обыкновенного определенного интеграла: область интегрирования двойного интеграла можно разбивать на части, двойной интеграл от суммы функций равен сумме двойных интегралов от всех слагаемых, постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла.

2. Вычисление двойного интнграла в декартовых координатах

Различают основные виды области интегрирования.

1. Областью интегрирования является прямоугольник: область D ограничена слева и справа прямыми x = a и x = b, а снизу и сверху – прямыми y = c и y = d (рис. 2).

Рис. 2

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

= =.(3)

2. Областью интегрирования является правильная замкнутая область D. (Область D называется правильной, если любые прямые, параллельные оси Ox или оси Oy пересекают область D не более, чем в двух точках.)

Область интегрировании D ограничена слева и справа прямыми x = a и x = b, а снизу и сверху непрерывными кривыми y= и y=() (рис.3), т.е.

D:

(4)

Рис. 3

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

= , (5)

причем сначала вычисляется внутренний интеграл , в котором x считается постоянным.

3. Правильная замкнутая область интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми y = c и y = d (c < d), а слева и справа – непрерывными кривыми x= и x=() (рис.4), т.е.

D:

(6)

Рис. 4

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

= , (7)

причем сначала вычисляется внутренний интеграл , в котором y считается постоянным.

4. В случае неправильной области D двойной интеграл сводится к сумме интегралов:

= . (8)

При вычислении двойных интегралов необходимо помнить, что:

1. Пределы внешнего интеграла в повторном всегда постоянны. Отрезком интегрирования является проекция правильной области интегрирования D на соответствующую координатную ось.

2. Пределы внутреннего интеграла являются функциями переменной интегрирования внешнего интеграла.

3. В повторном интеграле сначала вычисляется внутренний интеграл, а затем внешний.

4. При вычислении внутреннего интеграла переменная, по которой берется внешний интеграл, рассматривается как постоянная. Его пределы рассматриваются для него также как постоянные.

5. В случае области (4), если кривая y= или y=в промежутке a x b задается несколькими аналитическими выражениями, то двойной интеграл сводится к сумме повторных интегралов, в каждом из которых функция y= или y=задается одним аналитическим выражением. Аналогично для области (6).