- •Методические указания к решннию задач по теме "двойные интегралы"
- •Предисловие
- •1. Основные понятия и определения
- •2. Вычисление двойного интнграла в декартовых координатах
- •3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •4. Приложения двойного интеграла
- •5. Примеры решения задач
- •6. Задачи для самоподготовки
- •Рекомендуемая литература
- •Горлова Ольга Юрьевна Методические указания к решению задач по теме "Двойные интегралы" для студентов специальности 270105"Городское строительство и хозяйство"
3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид ; область интегрированияD есть круг, кольцо или часть таковых.
Рис. 5
Пусть область D ограничена двумя лучами , выходящими из полюса, и двумя кривыми и , где и - однозначные функции при и (рис.5).
Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат x, y к полярным координатам , связанным с прямоугольными координатами соотношениями,, осуществляется по формуле
= = , (9)
Причем сначала вычисляется интеграл ,в котором считается постоянным.
4. Приложения двойного интеграла
Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.
1. Объем тела,
Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y)0, снизу – замкнутой областью D плоскости Oxy, с боков - цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (рис. 1) находится по формуле
V = |
(10) |
2. Площадь плоской фигуры.
Площадь S области D вычисляется по формуле
S = . |
(11) |
3. Масса плоской фигуры.
Масса плоской пластинки D с переменой плотностью находится по формуле
m = . |
(12) |
4. Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры.
Статические моменты фигуры D относительно осей Ox и Oy могут быть вычислены по формулам
= и = |
(13) |
где – переменная плотность; а координаты центра масс фигуры – по формулам
; . |
(14) |
5. Моменты инерции плоской фигуры.
Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ox и Oy могут быть вычислены по формулам:
= и = |
(15) |
где – переменная плотность.
Момент инерции фигуры относительно начала координат – по формуле
. |
(16) |
5. Примеры решения задач
Изменить порядок интегрирования (сделать чертеж области).
+ .
Решение.
Повторный интеграл является следствием двойного, поэтому
I = .
Для восстановления области D выписываем из данного повторного интеграла границы области:
y = -2, y = -1, x = , x =0;
y = -1, y = 0, x = .
Построим линии, ограничивающие область.
, следовательно () – уравнение параболы с вершиной в точке (0,-2).
, следовательно () – уравнение параболы с вершиной в точке (0,0) (рис. 6).
Рис. 6
Найдем точки пересечения парабол:
2 + y = – y,
2y = – 2,
y = – 1.
Подставляем в
, но ,
значит .
Производим переход в двойном интеграле к повторному, при этом внешнее интегрирование производим по x, внутреннее – по y. Т.е. возьмем постоянные пределы по переменной x. Для этого спроецируем область D на ось Ox. Проекцией будет отрезок [– 1; 0]. Если провести прямую, параллельную оси Oy (x = const), то она пересекает область D в точках A (назовем ее точкой входа) и B (назовем ее точкой выхода).
Точка A лежит на параболе x2 = y + 2 (т.е. y = x2 – 2). Точка B лежит на параболе (т.е.y = – x2 ).
Получим I = ; инаходим из уравнений соответствующих парабол:
точка A лежит на параболе x2 = y + 2 (т.е. y = x2 – 2), значит , =x2 – 2 ;
точка B лежит на параболе (т.е.y = – x2 ), значит = –x2 .
Окончательно получим: I =.
Ответ: I =.
2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.
2.1. I =, где область D, ограничена линиями y = x, y = 2x, x = 2, x = 3.
2.2. I =, где область D, ограничена линиями ,y = x .
Решение.
2.1. Изобразим область интегрирования D (рис. 7).
Рис. 7
Область интегрирования принадлежит к виду (4) (см. п.2), тогда
D : ,
.
Вычислим искомый интеграл:
I = =
= =.
Ответ: .
2.2. Изобразим область интегрирования D (рис. 8).
Рис. 8
Область интегрирования принадлежит к виду (4) (см. п.2).
Так как прямая y = x и парабола пересекаются в точкахO(0,0) и A(2,2), то область D определяется системой неравенств:
,
.
Теперь вычислим искомый интеграл:
I == =
==) = =
= .
;
Вычислим = =
dv = dx: v = x.
Применим формулу интегрирования по частям
(17) |
=xarctg= =
= .
Итак, наш интеграл
I = 2.
Ответ: .
3. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями (сделать чертеж):
3.1. , ,y = 3, y = 4.
3.2. : ; (18)
: ; (19)
y = 0, y = x.
Решение.
3.1. Изобразим область интегрирования D (рис. 9).
Рис. 9
Область интегрирования принадлежит к виду (6) (см. п.2).
Выразим x из уравнений и : и.
Тогда область D определяется системой неравенств:
,
.
Для вычисления площади фигуры используем формулу (11).
S = –.
Вычислим
= =
Тогда
S = 1 (кв.ед.).
Ответ: 1 кв.ед.
3.2. Преобразуем данные уравнения окружностей:
–уравнение окружности ( C(1,0), R = 1);
–уравнение окружности ( C(3,0), R = 3).
Изобразим область интегрирования D (рис. 10).
Рис. 10
Т.к. иявляются окружностями, то лучше перейти к полярным координатам.
Переводим уравнения окружностей в полярные координаты, используя формулы: тогда, подставляя соответственно в (16) и (17), получим:
,
,
,
.
,
,
,
.
Область D определяется системой неравенств:
Для вычисления площади фигуры используем формулу (11), а также формулу (9) для преобразования двойного интеграла от прямоугольных координат к полярным.
==
= == 8(=.
Ответ: (кв. ед.).