2.9. Баланс мощности

 

Представим пассивную электрическую цепь, находящуюся под воздействием источника гармонического напряжения, в форме двухполюсника (см. рис. 1.1). Под воздействием напряженияи_nb = = U_msinωt в цепи протекает ток i = I_msin(ωt — φ). Отдаваемая ис­точником в цепь за период Т средняя мощность

Таким образом, средняя за период мощность Р равна мощности, рассеиваемой на резистивном сопротивлении (проводимости) цепи. В этой связи мощность Р носит название активной и измеряется в ваттах (Вт).

Кроме активной мощности Р в цепях гармонического тока ис­пользуют понятие реактивной мощности

Это отношение в энергетике называется коэффициентом мощ­ности (косинусом φ) и является важной характеристикой электри­ческих машин и линий электропередачи.  Чем выше cos φ,  тем

меньше потери энергии в линии и выше степень использования электрических машин и аппаратов. Максимальное значение cos φ = 1, при этом Р = S, Q = 0, т. е. цепь носит чисто активный характер и сдвиг фаз между током i и напряжением и равен нулю. Условие передачи максимальной мощности от генератора в на­грузку можно найти из условия

где Zj — комплексное внутреннее сопротивление источника; Z_H — комплексно-сопряженное сопротивление нагрузки. Это условие следует непосредственно из рассмотрения эквивалентной схемы, приведенной на рис. 3.31. Ток в данной цепи достигает максимума при Х_г = — Х_H и выполнении условия R_Г = R_H (см. § 2.6), что и до­казывает равенство (3.125). При этом мощность в нагрузке будет определяться уравнением

По аналогии с треугольниками токов и напряжений, сопротив­лений и проводимостей (§§ 3.4 и 3.5) можно ввести треугольники мощностей. Так согласно (3.121) и (3.122) треугольник мощностей для цепи, носящий индуктивный характер будет иметь вид, изо­браженный на рис. 3.32, а, а для цепи с емкостным характером — на рис. 3.32, б.

Рассмотрим условие баланса мощности в цепях при гармони­ческом воздействии. В силу справедливости первого и второго за­конов Кирхгофа для комплексных действующих значений тока I и напряжений U_в каждой из ветвей рассматриваемой цепи можно записать теорему Телледжена (1.35) в комплексной форме:

Однако поскольку ЗТК справедлив и по отношению к сопряжен­ным токам  то уравнение (3.127) можно записать в виде

Уравнение (3.128) отражает баланс комплексной мощности, со­гласно которому сумма комплексных мощностей, потребляемых всеми ветвями цепи, равна нулю. Баланс комплексной мощности можно сформулировать и в другой форме: сумма комплексных мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равна сумме комплексных мощностей, потребляемых остальными ветвями элек­трической цепи:

Условие баланса активных мощностей непосредственно вытекает из закона сохранения энергии.

2.10. Модели электрических цепей с зависимыми источниками

 

Интегрирующие и дифференцирующие цепи. Интегрирующие и дифференцирующие цепи находят широкое применение в раз­личных устройствах импульсной и вычислительной техники для формирования линейно изменяющихся напряжений и токов, селек­ции сигналов, линейного преобразования различных импульсов и т. д. Интегрирующая цепь описывается уравнением

где k₁, k₂ — коэффициенты пропорциональности.

Простейшая интегрирующая и дифференцирующая цепи могут быть реализованы на базе RС-цепочки (рис. 3.33, 3.34). Действи­тельно, если параметры интегрирующей цепочки (рис. 3.33) тако-

вы, что  где t_И длительность входного сигнала, то на выходе такой цепи имеем

Однако точность интегрирования и дифференцирования такой пас­сивной цепи невысока. Поэтому на практике операции (3.132) и (3.133) реализуют с помощью активных цепей с зависимыми ис­точниками, например на базе ОУ.

На рис. 3.35, а изображена схема интегратора, а на рис. 3.36, а — дифференциатора на ОУ. Определим комплексное действующее напряжение на выходе интегратора. Для этого воспользуемся эк­вивалентной схемой замещения ОУ в виде ИНУНа (рис. 3.35, б).

Приняв потенциал базисного узла V₄ = О составим уравнение равновесия узловых потенциалов:    

А так как деление U₁ на jω соответствует операции интегрирования входного сигнала u₁(t) (см. § 3.6), то схема, изображенная на рис. 3.34 является моделью идеального интегратора.

Аналогично можно получить для идеального дифференциатора (см. рис. 3.36):

т. е. u₁(t) и u₂(t) связаны между собой зависимостью, аналогичной (3.134). Знак «—» в уравнении (3.135) и (3.136) обусловлен пово­ротом на угол я фазы входного сигнала поданного на инвер­тирующий вход ОУ.

ARC-цепь второго порядка. На рис. 3.37 изображена активная RС-цепь (ARC-цепь) второго порядка, которая находит широкое применение в качестве типового звена различных устройств: фильтров, корректоров и др. (см.гл.14, 17, 18).

Приняв потенциал узла V₅ = 0 (базисный узел) составим для узлов 3 и 4 уравнения по методу узловых потенциалов (рис. 3.37, б):

Гиратор. Гиратором называют необратимый четырехполюник (рис. 3.38, а), описываемый уравнениями где G_r проводимость гиратора.

Условное изображение гиратора показано на рис. 3.38, б. На­грузим гиратор сопротивлением нагрузки Z₂. Входное сопротивле­ние гиратора

т. е. обратно сопротивлению нагрузки, поэтому гиратор часто на­зывают инвертором положительного сопротивления. Свойство (3.139) является очень важным, поскольку позволяет имитировать индуктивность с помощью емкости. Действительно, если

 — эквивалентная индук­тивность. Это свойство гираторов является очень ценным для мик­роэлектроники, поскольку изготовление индуктивностей по интег­ральной технологии представляет сложную задачу. Использование же гираторов с малым значением G_r позволяет из небольших ем­костей С моделировать большие значения индуктивности L.

Существуют и другие многочисленные применения гиратора: преобразование напряжения и тока, моделирование Т- и П- образных звеньев с катушками индуктивности, трансформаторов, резо­нансных контуров. В качестве примера на рис. 3.39 изображена Модель параллельного колебательного контура (рис. 3.39, б) на ба­зе гиратора (3.39, а).

Важным свойством гиратора является то, что он не вносит энер­гии в цепь и не потребляет ее из цепи, т. е. ведет себя как пассив­ный элемент без потерь. Это следует непосредственно из уравнений

гиратора.

Реализация гиратора осуществляется с использованием активных элементов. Например, ОУ (на базе двух источников ИТУН: на базе ИТУН и ООС; на основе двух ПОС и др.). На рис. 3.40 изображе­на схема гиратора с двумя ИТУН, выполненными на базе ОУ.