Сборник задач по высшей математике

Учитывая, что t = arcsinrr, получим окончательно:

/ ^х2 Х	= — ctg(arcsin:r)		— arcsinrr + С =
				=		y j l - x 2	arcsin x + С.
						x
2) Сделаем замену х =		чтобы корни извлекались нацело:
Iv~Jlv*) =	[ x = t 2 * d x = 2	t d	t '			t = ^ =	f w n T ) =

dt

/— = 21n|t + l| + C = 21n(V® + l) + C7. •

Найти интегралы, используя подходящую подстановку х = \j){t):

8.2.16.	[ V9~^x*dx.	8.2.17.	J	f —М—..
	J			хух + 1
8.2.18.	J x ^ / 2 ^ i d x .	8.2.19.		| ^ | .

8.2.20.Найти интеграл, используя интегрирование по частям:

1)J х • ех dx;

2)J Inxdx;

3)J x2 cos xdx.

О1) Проинтегрируем по частям, используя метод стрелок:

[ х • ех dx = х • ех		- [ ех dx = хех - ех + С.
• к	/
1	ех

Заметим, что если бы мы поменяли порядок стрелок, то в итоге получился бы более сложный интеграл:

[ x exdx =	2	• ех - [	2	ех dx.
		1

. р*

2 е

Умение выбирать нужный порядок стрелок (к счастью, здесь возможны только два варианта) приходит с практикой.

2) Для того, чтобы к этому интегралу можно было применить метод стрелок, необходимо иметь произведение двух

340

.1

функций под знаком интеграла. Для этого домножим подынтегральную функцию на единицу. Тогда

/ 1 п х dx = [ 1 • In х dx = х • In x — [ x • — dx = x In x — [ dx =

	Yj	/ J /	J	x	J
		x ' \			= x In x - x + C.
3) Воспользуемся методом стрелок:
	[ x2	• cos x dx = x2	• sin x -	2x sin x dx.
;	'	Г \ | /			1

2x • sin x

После однократного применения метода стрелок получили более простой интеграл. Тем не менее для его вычисления тре-

1

буется еще раз применить этот метод:

V,i/I 2х • s nxdx — —2х • cos х — / 2 • (— cosx)dx =

2 • (—cosx)
= — 2x • cos x + 2 J cos xdx — — 2x • cos x + 2 sin x + C.
Отсюда окончательно
J x2 • cos x dx = x2 • sin x + 2x cos x — 2 sin x + C.	•
Найти интегралы, используя интегрирование по частям:

8.2.21.

8.2.23.

8.2.25.

8.2.27.

у ж sin xdx. 8.2.22. J(2х - 1) • е3* dx.

	f In x dx		8.2.24.	j	х-	2х dx.
	J	x2
	^/ In2 x dx.		8.2.26.	J	х	arctg xdx.

Найти интеграл Jex cosxdx.

ОИспользуем метод стрелок:

I ех • cos xdx — ех - sin х — / ех • sin ж dx.

Ч\|/

К полученному в правой части равенства интегралу (отметим, что он, в сущности, не проще исходного) снова применим

341

метод стрелок:

I ех • sin xdx = —ех cos х — ех(— cos x)dx =

ех • ( - c o s ж)

= —ех cos х + J ех cos х dx.

Отсюда

J ех • cos xdx = ех sinx —

со$х + J ех ' cos xdx^ =

= e®(sinx -I- cosx) — J ex • cos xdx.

В итоге снова получили исходный интеграл, и может показаться, что решение зашло в тупик. Однако, перенеся этот интеграл в левую часть равенства, получим1

	2 J ех		• cos xdx = e®(sinx + cosx) + С.
	Теперь окончательно
		f x	i				^
	j			(sin х + cos x)
		e	cos xdx = —		- + C.		•
Найти	интегралы:
8.2.28.	J ex - sin xdx.		8.2	.29.	J sin In xdx.

При вычислении некоторых интегралов приходится комбинировать подстановку с методом интегрирования по частям.

8.2.30. Найти интеграл:

1)J arctg xdx;

2)J sin y/xdx.

О1) Сначала воспользуемся методом стрелок:

			г х dx
/	/ И '	7 1 + *		r.
	1 • arctg xdx = х arctg x -	/

1 Появление константы С объясняется тем, что фактически все интегральные формулы, в том числе и формула интегрирования по частям, верны с точностью до константы, которую обычно в этих формулах не пишут. Ну а поскольку в данном случае произвольная константа С неявно присутствует в интеграле из левой части равенства, то она должна появиться и в правой части.

342

	К полученному интегралу применим подстановку t = 1+х2 :
	г xdx	г \dt	1 г dt	1 .	- 1 .	ох	^
	I F-i-x^ = f	= 2 I ~t ~ 2			2
	^ = 1 + ж2	=> dt = 2х dx => х dx = ^dt
	Отсюда находим
	J arctg xdx — x arctg x — ^ ln(l + x2) + C.
	2) В этом интеграле, наоборот, сначала сделаем подстанов-
	ку, а потом применим метод стрелок:
	J sin у/х dx = J sin t • 21 dt = —21 • cos t — J(— cos t) • 2dt =
	\ x = t2=И		^ И
	[dx = 2tdt\	( - c o s * ) - 2
	= —2t cost + 2 J costdt =			—2t cos t + 2sint + С =
Найти	интегралы:		= —2y/x cos y/x + 2 sin yfx + C.				•
8.2.31.	J arcsin xdx.		8.2.32.		j ^ ^ - d x .

Дополнительные задачи

Найти	интегралы, используя			подходящую	подстановку:
8.2.33.	J cos(6x + l)dx.			8.2.34.	J		^	'dx
8.2.35.	J	[	V^xdx	8.2.36.	J	f - f ^ - .
			cos x				e + У
8.2.37.	f		f d x .	8.2.38.	f		arccos x • v 1 — x2
	J		y/x6 + 7		J
8.2.39.	[		+	8.2.40.	f cos11			2x-sin 2 xdx.
	J		(x2 + Зх - l)4		J
8.2.43.	j^bxdx			8.2.44.			Jctgxdx.
8.2.45.	J		[4x-VxiT8dx.	8.2.46.	J	f cos xdx
							sin	ж
8.2.47.	Jtg2xdx.			8.2.48.	J

343

8.2.49.	fe-*3-x2dx.	8.2.50.	f	f d	x
	J		J	Vx6	- 4

8.2.51.	f (в cos § — 5V sin			3	8.2.52.	[	(3* 2 - 2* + 7)cfo
	J У	*	/			J ухз _ X2 + 7x _		2
8.2.53.	J x(2x + l)35da;.				8.2.54.	J(x	- 2)>/«ТЗЛв.

Найти интегралы, предварительно преобразовав подынтегральные ражения:

8 . 2 . 5 5 .

f 3

^ ~ 2 3

C O S ^ d x .

8.2-56.

[

ух1 + 1 0

J

х3

J

8.2.57.

8.2.58.

/

8.2.59.

j z + W ^ d x .

8.2.60.

/ ( g

^

8.2.61.

J (cos2

x - sin2 x)

+ sin2xdx.

8.2.62.

[ etg ж

— 7 sinx + 5 sin 2a? ^

J

cos a;

Найти

интегралы,

используя

подходящую подстановку х = ip(t):

8.2.63.

J VW^x*dx .

8.2.64.

j y ^ y j .

8.2.65.

J x V x T S d x .

8.2.66.

J

8.2.67.

f

xdx_

S 2 6 S

Г

x2dx

J

V 1-Х

J

у/1 _ x2

Найти

интегралы,

используя

интегрирование

по

частям:

8.2.69.

J х In х dx.

8.2.70.

J(2x + 3) • cos x da:.

8.2.71.

J

[x-shbxdx.

8.2.72.

J

[ x c ™ [ x d x .

sin X

8.2.73.

J x2 Inx dx.

8.2.74.

J(x2

- 4x + l)e"* dx.

8.2.75.Jx3ex dx.

8.2.77.	f a r f i n V ^ d x .
	J y/l-x
8.2.79.	J cos In xdx.

8.2.76.J ^rccosxdx

8.2.78.	f	,	fdxwl.
	J	(x2	- l)2
8.2.80.	J e3x		cos2 xdx .

344

Найти	интегралы, комбинируя	методы интегрирования по			частям
и подстановки:
8.2.81.	J e^dx.	8.2.82.	Г	xdx
			J	cos2 x'
8.2.83.	J х3 - ex*dx.	8.2.84.		J In (a? + Vx^+l)	dx.

8.2.85.	J sin 2x • In sin x dx.
8.2.87.	J x • sin yfx dx.
Найти	интегралы:
8.2.89.
8.2.91.	J [		sinx
8.2.93.	J	f e ^ l l + S x d x .
			1 + ar

8.2.86.J x2 arccos3xdx.

8.2.88.J arcsin2 xdx.

	8.2.90.	J arctg y/x dx.
	8.2.92.	In2	x dx
		/ x • л/3 — lnx
	8.2.94.	. З х + бвтС^Л
		J/	ex —— dx.

Более сложные задачи

Пользуясь

правилом

интегрирования

по

частям,

найти

интегралы:

8

.2.95.

J у/ 1-х2 dx.

8.2.96.

J л/1

+

х2 dx.

Найти

интегралы:

8.2.97.

[

.

dx

X

.

8.2.98.

[

f

d x

.

J

S i n X • COS

J

y f j

_x2

8

.2.99.

[ \ ± 4 d x .

8.2.100.

J

Г

-

^

Щ

- .

J

1 + x4

X2

- 2x +

10

8

.2.101.

/ x 2 l n ^ 4 d x .

8.2.102.

J

[ - Щ - .

J

x +1

sin

x

Используя

метод интегрирования

no

частям,

доказать,

что

8

.2.103.

[ еа х

• cos Ьх dx =

a cos fex + fe sin fex . ea* + c

J

a

+ b

8.2.104.

[eax

• sinfexdx =

as[nH

~

bJosbx

•

ea*

+

C.

J

a2

+ b2

8.2.105.

J yjx2

+ adx = |\/x2 + a +

| In (ж + \/x2

+ a) + C.

345

§3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Правильные и неправильные дроби

^	Рациональной дробью называется выражение вида		где
	Р(х) и Q(x) — многочлены.
^	Рациональная дробь	называется правильной, если	сте-

пень многочлена Р(х) в ее числителе меньше степени многочлена Q(x) в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Всякая неправильная _	а	я		$ с _ м
числителя на знаменатель приводится к виду
Р(х)			Рх(х)
W ) = Р о { х ) +			Ш ' г д е
Ро(х) — многочлен (целая часть при делении), а				— правильная
рациональная дробь (остаток).
П о э т о м у I ^ j d x = I P o ^ d x + I			dx•

Так как интеграл J Po(x)dx вычисляется элементарно (сводится к

сумме табличных), то интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию правильной дроби. Интегрирование правильной рациональной дроби сводится, в свою очередь, к интегрированию простейших дробей.

Разложение правильной дроби на простейшие дроби

^Правильные дроби следующих четырех типов называются про-

стейшими (или элементарными) дробями:

I.

(fc = 2,3,4, ... );

HI. Ах + В

х+px + q

При этом предполагается, что А, В, р, q — действительные числа, а квадратный трехчлен х2 + рх + q в дробях III и IV типов не имеет действительных корней (т. е. р2 — Aq < 0).

Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей указанных четырех типов. А именно:

346

если знаменатель данной правильной дроби

разложен на неповто-

ряющиеся линейные и квадратные множители

Q(x) =

(х- ai)kl •

(ж

- а2)к2 •... • {х

-

ап)кп

•

(ж2

+Plx + qx)ri

-... х

х (ж2

+ p m S + gm)rm,

где к\,

? • • • кп, г\, г2,... гт — натуральные числа, то эту дробь можно

представить в виде следующей суммы простейших:

Р(х) _

Аг

,

А2

|

Akl

|

Б1Ж + С1

<2(ж)

( x - a i ) * *

(ж — ai)A l _ 1

( ж - a i )

'"

(ж2+рхж +

В2Х + С2

,

,

ВГ1 х + СГ1

l

r i

'

+

(3

(Ж2 +Р1Ж + ^1)Г1_1

Ж2+Р1Ж + Я1

Коэффициенты А\, А2, ... , В\, C i , . . . ,

С п , . . . вразложении (3.1)

находятся с помощью метода неопределенных коэффициентов или метода частных значений (см. решение задачи 8.3.12.). Отметим, что общее число этих коэффициентов равно степени многочлена Q(x).

Таким образом, интегрируя правильную дробь, мы сначала раскладываем ее на сумму простейших, а затем интегрируем каждое слагаемое в этом разложении.

Вычисляя интегралы от простейших дробей, надо иметь в виду, что: 1) Простейшие дроби первых двух типов — почти табличные:

-—-dx = А • In |ж - а\ + С, ж — а

/(ж — a)k	1 — к (ж — а)к
2) При интегрировании простейшей дроби третьего типа		Лх ^—,
	ж	+ рх + q

гдеp2 —4q< 0, сначала выделяют в числителе производную знаменателя,

т. е. 2х + р:	Ах + В =	— - (2х + р) + В —
Отсюда		z			z
J хг +рх + q	J	хг +рх + q
	_ А	г	(2x+p)dx	/g	Ар\ г	dx
	~~ 2	J	х2 +рх + q	V	2 / J	x2+px + q'

В первом из полученных интегралов делаем замену t = ж2 -I- рх -I- д, откуда dt = (2ж -I- p)dx и

(2ж + p)dx	г dt
J х2 +px + q	J t	11	v	J

347

Во втором интеграле сначала выделяем полный квадрат в знаменателе подытегральной дроби, а потом делаем подходящую линейную подстановку:

[	о	dX	,	=	[у = x + ^=>dy = dx] =
J	х2	+ рх + q		L	2	J

f	dy		/ p 2
=	Jy2+ay2 ^	=	a=\lq-T
Окончательно		Л . , о	v
Ax + B	,
j x2+px + q— dx = 2- • 1п(ж			+ рх + g) +

	2	^	2 x + p	+ c
y/Aq-p2			yjAq-p2
,	2 В-Ар	• arctg	2х + р	+	_
	- р2		t		С.
			yjAq - р2

3) Если требуется проинтегрировать простейшую дробь четвертого

типа [	Ах +	В	е п _ 2 3 4	и о2 — 4а < 0, то сначала, как и
J	(х2 +рх	+ q)n

в пункте 2, в числителе дроби производная от квадратного трехчлена в знаменателе, откуда

J (х + рх -h q)n

J

(х2 + рх + q)n

А

г

2x + p

(

Ар\

г

(x

dx

=

2

J (x +px+ p+xq)+ q ) n

d X

V+ \

B

- T

2/)' J J

+px + q)

n

2

2

n

2

dx

Ly

2J

2(1 — n)

(a^+px + g)»-1

V

2 J J

(y2 + a2)n'

где a = )Jq — Последний интеграл считается с помощью рекуррентной формулы, позволяющей свести его к более простому интегралу

Гdy

J (if+aT-1'

г

dy

_

1

у

1 2n — 3 г

dy

J

{у2 + a2)71

a2 ' 2n - 2 J

(y2 + a2)71"1"

~ 2(n - l)a2

'

(t/2

+ a2)71"1

Далее к интегралу

J

f

[у

—

с

н о в а применяется рекуррентная фор-

CL

)

мула, понижающая степень знаменателя подынтегральной дроби, и так

далее, пока не получится табличный интеграл J				Q2	•
8.3.1.	Найти интеграл	/ »	,—Ц—.
	F	J	Ах + 1 3

О Дискриминант квадратного трехчлена в знаменателе подынтегральной дроби отрицателен, поэтому данная дробь — простейшая третьего типа.

348

Сначала найдем производную знаменателя дроби:

(ж2 + 4ж + 13)' = 2х + 4.

Затем выделим производную знаменателя в числителе дро-

би:

6х - 7 = 3(2х + 4) - 19.

Отсюда, учитывая, что ж2 + 4ж + 13 = (ж + 2)2 + 9, имеем:

J ж2+4ж + 13		J ж2 +4ж + 13
	у	(2ж + 4) da;	_	г	dx	=
	J х2 + 4х + 13			J (ж + 2)2 + 9
_ Г	t = х2 + 4х + 13,				у = х + 2,
~~	[ dt = (2ж -I- 4) dx				dy = dx
		= 31п(ж2	+ 4х + 13) - — arctg			о	+ С.
					о

В последнем равенстве мы воспользовались тем, что ж2 + 4ж + + 13 > 0 (Уж) и, стало быть, |ж2 + 4ж + 13| = ж2 + 4ж + 13. •

Найти интегралы от простейших дробей первых трех типов:

8.3.2.

8.3.4.

8.3.6.

8.3.8.

1 Ш		8 -3 -3 -				It^W-
/	11 dx		о о к	[			dx
	(х + 2)а		*'ЛЛ'
				J х1		+ 10z + 29'
Г i X \ Q ) d X „ .		8.3.7.		J х2		f(**-l)dx
J хг - 2х + 17						+ х + 1
Найти интеграл [		2 8 ^"| "5 17 ч2
	«/	(ж 2ж 1 • /
О	Поскольку дискриминант квадратного трехчлена в знаме-

нателе подынтегральной дроби отрицателен, то эта дробь — простейшая четвертого типа. Выделим производную этого трехчлена в числителе дроби:

		8ж + 5 = 4(2ж - 2) + 13.
Отсюда
8х + 5
J (х2(х2--2х+	17)2• dx =
t	(2хyx-—i)ax2 )dx			rг	dx	]
J	(х	—-2х2х+ +17)17)	2	J J ГГт[(i-- l ) 2 + 16			2
	2	2

349