Сборник задач по высшей математике

Какие из	следующих последовательностей				{х п }	ограничены, если:
6.2.40.	хп	= sin п.	6 2	41	х	= — ZlLzhJ.
			6.2	.41.	хп	=	п
6.2.42.	хп	= (~VS)2n.	6.2.43.		хп	=	( - l ) n + 1 v ^ -

Среди следующих последовательностей указать монотонные; строго

монотонные; ограниченные

последовательности:

6.2.44.

хп

= sinn.

6.2.45.

хп

=

0

п

on

— Z

6.2.46.

хп = P2n, (w ^ 2), где Р2п — периметр правильного 2п-уголь-

ника, вписанного в единичный круг.

6.2.47.

X! = 1, хп = ^

2

.,.

Хп— 1 "г1

Найти последовательности { х 2 } и |

+ 2 }'

е с , / ш ;

6.2.48.

xn =п,уп = 1.

6.2.49.

хп

= п2,

уп = гг.

Более сложные задачи

6.2.50.

Найти первые семь членов последовательности Фибоначчи,

определяемой рекуррентной формулой xn

= xn _i + хп _2

при

тг > 2,

= х2 = 1.

члена последовательности {Рп},

п =

6.2.51.

Найти

первые

четыре

= 3,4,5, ... , где Рп — периметр правильного n-угольника, впи-

санного в круг единичного радиуса.

6.2.52.

Написать формулу общего члена последовательности, каждый

четный член которой — рациональное число, а каждый нечет-

ный — иррациональное.

6.2.53.

Найти общий член последовательности, зная несколько ее пер-

вых членов:

= 4, £4 = 1, -Г5 == 5, ...

1)

Х\ = 3, х2 = 1, Хз

2)

7,9,13,21,37,...

6.2.54.

Найти формулу общего члена последовательности, заданной с

помощью рекуррентного соотношения

_

1

хп

_

~

1

•

Xi —

2

—

-

2 - xn—i

6.2.55.

Пусть последовательности {хп} и {уп} ограничены. Доказать,

что последовательности

1)

{хп

+2/п};

2)

{хп-УпЬ

3)

{хп

• Уп}

также ограничены.

6.2.56.

Привести пример двух ограниченных последовательностей, та-

ких, что их частное является неограниченной последователь-

ностью.

250

Доказать,		что		следующие	последовательности	ограничены:
6.2.57.	хп	= л/п2 + 1 - п.			6.2.58. хп	= 1п(п + 1) - In п.
5.2*59.	хп	=	п	+ 1 .
6.2.60.	хп	=	Sn-2+Sn-i^ Ж1 = 2, х2 = 5.

Какие из следующих последовательностей монотонные? строго монотонные ? ограниченные ?

6.2.61. хп = ^ - . 6.2.62. xn = l n n - n .

6.2.63. xi = 1, хп = - — L - _

Х>п— 1 • J-

6.2.64. хп — n-й знак десятичной записи некоторого иррационального числа q.

6.2.65. Может ли произведение двух немонотонных последовательностей быть:

1)монотонной, но не строго монотонной последовательностью;

2)строго монотонной последовательностью?

6.2.66. Показать на примере, что произведение двух возрастающих последовательностей {хп} и {уп} может не быть даже монотонной последовательностью.

§3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Бесконечно малые последовательности, предел последовательности

^	Последовательность { а п } называется бесконечно малой, если
	для любого сколь угодно малого положительного числа е мож-
	но подобрать такой номер N, что, начиная с этого номера (т. е.
	для всех n ^ N ) , будет выполнено неравенство |ап| < е.

В дальнейшем тот факт, что последовательность { а п } — бесконечно малая, мы будем сокращенно обозначать так: б. м. {ап }-

^	Число а называется пределом последовательности {х п }, если
	последовательность {ап} = {хп — а} является бесконечно ма-
	лой.

На основе определения бесконечно малой последовательности можно дать другое, эквивалентное, определение предела последовательности.

^	Число а называется пределом последовательности {х п }, если
	для любого положительного числа е можно подобрать такой
	номер N (как правило, зависящий от е), что, начиная с этого
	номера (т.е. для всех п ^ N), будет выполнено неравенство
	\хп - а\ <е.

251

В случае, если последовательность {хп} имеет своим пределом число а, говорят также, что последовательность {хп} сходится (или стремится) к числу а, и обозначают этот факт так:

	lim хп = а или хп ->• а (при п —оо).
	Т1—УОО
^	Если последовательность не имеет предела, то говорят, что она

расходится.

	Иногда удобно использовать геометрическое определение предела
последовательности, эквивалентное двум предыдущим:
^	Число а называется пределом последовательности {#п }, если в
	любом интервале с центром в точке а находятся почти все (т. е.
	все, кроме конечного числа) члены этой последовательности.

Связь между сходимостью и ограниченностью последовательности

Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится. Всякая постоянная последовательность, члены которой равны а, схо-

дится к этому числу, т. е. lim а = а. 71—ЮО

Свойства бесконечно малых последовательностей

Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей также является бесконечно малой последовательностью.

Таким образом, { а п } и {/Зп} — б. м. { а п ± /Зп} — б. м. Произведение бесконечно малой последовательности на ограничен-

ную последовательность является бесконечно малой последовательностью, т. е.

{ап} — б. м., {#п } — огранич. посл-ть			{ап • хп} — б. м.
Произведение двух бесконечно малых последовательностей является
бесконечно малой последовательностью:
{ а п } Л М — б.м.,	=>	{а п • /Зп} — б. м.
Произведение бесконечно малой последовательности на постоянное
число является бесконечно малой последовательностью:
{ап} — б.м., c G i	=>	{с • ап}	— б. м.

Операции над пределами последовательностей

1. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (соответственно, разности) их пределов:

lim хп = a,	lim уп = Ь	lim (хп ±уп) = а±Ь.
71—ЮО	П—УОО	П—ЮО

252

2. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов:

	lim хп	= a, lim	уп = b = >	lim (х п • уп) = а -Ь.
	п—ь оо	п—юо		п—юо
В	частности:
—	постоянный мцожитель можно выносить за знак предела:
	lim	хп = a,	c G l	lim (схп ) = с - а;
	п—юо			п—юо

— предел натуральной степени от сходящейся последовательности равен этой степени от ее предела:

lim хп = а =>	lim ( х п ) к	= ( lim яп )* = ак,	к = 1 , 2 , 3 , . . .
71—ЮО	71—»00	71—ЮО

3. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен част-

ному их пределов:
lim яп = a,	lim ?/п = 6, ( 6 ^ 0 , 2/п Ф 0 Vn)	lim х— =	d
п-+оо	71—юо	71—•оо уп	О

4. Предел корня fc-й степени от сходящейся последовательности равен корню этой же степени от предела последовательности:

lim жп = a, fc = 2 , 3 , 4 , . . . =>	lim фс^ — tya.
п—too	71—юо

Пределы и неравенства

Пусть все члены данной сходящейся последовательности неотрицательны. Тогда ее предел также неотрицателен:

lim х п = а, хп ^ 0 Vn	а ^ 0.
п—юо

Пусть каждый член одной сходящейся последовательности больше или равен соответствующему члену другой сходящейся последовательности. Тогда и предел первой последовательности больше или равен пре-

делу второй последовательности:
lim хп	= a,	lim уп = Ь, хп ^ ?/n	Vn ==Ф>	а ^ Ь .
71—ЮО	П—ЬОО
Теорема 6.1 (о промежуточной переменной). Пусть				соответствую-
щие члены трех данных последовательностей			{ я п } . {уп}	и {zn} удовле-
творяют условию хп		^.уп ^ zn.

Тогда если последовательности {хп} и {zn} сходятся к одному и тому же пределу, то последовательность {уп} также сходится к этому пределу:

Хп ^Уп ^ Vn, limхп = limzn = a => lim yn = a.

253

Бесконечно большие последовательности

^Последовательность {хп} называется положительной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М найдется такой номер N, что для всех тг, начиная с этого номера, выполняется неравенство хп > М.

Про положительную бесконечно большую последовательность {яп } говорят также, что она стремится к плюс бесконечности, и пишут 71—ЮОlim хп — -foo.

Заметим, что эта запись, так же, как и слова о стремлении к плюс бесконечности, носит условный характер и не означает существование предела в том смысле, как это было определено в начале этого параграфа. То же относится к отрицательной бесконечно большой и бесконечно большой последовательностям, определенным ниже.

^Последовательность {хп} называется отрицательной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого по модулю отрицательного числа М найдется такой номер N, что для всех п, начиная с этого номера, выполняя неравенство

хп < М.

Про отрицательную бесконечно большую последовательность {я п } говорят также, что она стремится к минус бесконечности, и пишут

lim хп = —оо. 71—ЮО

^Последовательность {яп } называется бесконечно большой, если последовательность {|хп|} является положительной бесконечно большой.

Если последовательность {яп } — бесконечно большая (б. б.), то говорят также, что она стремится к бесконечности, и пишут 71—ЮОlim хп = оо.

Последовательность {х п }, все члены которой отличны от нуля, — бесконечно малая тогда и только тогда, когда последовательность

{—хп }J — бесконечно большая:

	xn^O(Vn);	{хп} — б.м.		{ —}—	б. б.
			V Xfi j
Кроме того, полезно иметь в виду следующее:
1.	Пусть lim хп = a,	lim уп = ±оо. Тогда		lim ^	= 0.
	71—ЮО	71—ЮО	71—ЮОУп
2.	Пусть 71—ЮОlim хп = а, (в том числе а = +оо), а > 0 (соответственно,
а < 0, в том числе а = -оо), lim уп = 0, уп			> 0	Vn. Тогда lim ^ = +оо
		71—ЮО			71—ЮОУп

(соответственно, = — оо).

254

Число е

Последовательность j + | — возрастает и ограничена сверху, а

поэтому сходится. Ее пределом является замечательное иррациональное число е = 2,71828182845..., служащее основанием натуральных логарифмов.

Таким образом,

		lim	/	1 \	п
			( 1 4 — )		= е.
		п-юо \		п /
6.3.1.	Используя	определение,		доказать, что последовательность
	{ а п } = | 1 |	— бесконечно малая.
			N
		И i	И+1

Рис. 76

Q Пусть е — произвольное положительное число. Тогда из

неравенства \ап\ < £, т.е. 1 < е, получим п > i. Посколь-

ку число 1 может не быть целым, то, положив N =

+ 1

(рис. 76), мы найдем искомое натуральное N. Действительно, для всех N будем иметь i- < е, т.е. |ап| < £. Но это и

	означает, что последовательность { а п } =	— бесконечно
	малая.	•
Используя определение, доказать, что следующие		последовательности
{ап} —	бесконечно малые:
6.3.2.	ап = п + 1'
6.3.3.	а п = 4 - .
	л/П
6.3.4.	Доказать, что последовательность {an} =	— бесконечно

малая, и для каждого данного £ найти такой номер N, что для всех n ^ N справедливо неравенство |an| < £ , где

1 ) в = 1 ;

2)е = 0,1;

3)е = 0,015.

255

6.3.5.

Используя

6.3.6.

6 . 3 . 7 .

6.3.8.

6.3.9.

Используя определение предела, доказать, что последовательность 2, д, . . . , ^ ^ , . . . сходится к числу 1.

О Обозначив хп = выберем произвольное число е > О, Тогда

\ХП ~ 1| =	п	1		п — (п — 1)		1
				п - 1	~	п-1
	п - 1	1

и неравенство \хп — 1| < е будет выполнено в точности тогда,

когда	—< е,		т. е. п	- 1 >	откуда п > - + 1. Положив
	1			£	£
N =	+ 2j, получим, что для всех п ^ N справедливо нера-
венство \хп		— 1| < £. В соответствии с определением предела
это и означает, что 71—ЮОlim хп = 1.					•
определение		предела,		доказать,	что:
lim		=	з.
n-юо П + 1
lim		=	5
п—юо 5п + z
lim	гг	=	2.
п—юо

Доказать, используя определение предела, что последователь-

ность { х п } = j ^ ^ i - i j сходится	к числу 1, и для каждого
данного £ найти такой номер N,	что для всех п ^ N верно
неравенство \хп — 1| < е, где

1 )e = J ;

2)е = 0,1;

3)е = 0,07.

6.3.10. Найти пределы последовательностей:

1 )	И т	З п 2 - П + 2
' п—юо		5 п + 2
2)	lim	(>/n + 1 - д/72 - 1);
	П—ЮО
3)	И т
	71—ЮО -у/п + 1

О1) Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела,

поделив числитель и знаменатель на старшую степень п, т.е. на п2:

З п 2 - п + 2	3 - ^ + 2
5п + 2	5 + ^

256

Отсюда, используя теорему о действиях над пределами, получим:

,.

Зп2

— п + 2

3 - 1 + ^

+

lim

Т\— =

— — ^ — — = hrn

—

г

71 о

= —г

/V

Ъпг -f 2

п-юо

5 + Л

lim 5 + Л

'

п

п—юо

71

lim

3 -

lim

^ +

lim

X

3 - lim ± + 2

lim

Л

lim

5 +

lim X

5 + 2

lim

X

п—юо

n—юо

n—юо

_

3 - 0 +

0 _ 3

5 + 0

" 5 е

В последних равенствах мы воспользовались тем, что предел константы — константа, а также тем, что последователь-

ности	и {	} — бесконечно малые.
Окончательно,		lim	3 п 1 7	п + 2	=	5
		n-юо	5п	+ 2

2) Домножим и разделим выражение под знаком предела на сопряженное к нему, после чего воспользуемся формулой разности квадратов:

у/ 5 Т Т	yfi^Kyfc+i				+	yfr^)				=
	y/n	+	1 +		y/n-l
= (\АГП)2 - ( л / ^ 1 ) 2 =		(П + 1 )			- (П - 1 )				=
y/n + 1 + y/n-l		у/п + 1 + у/п - 1
								2
Поэтому					д/п + 1 + у/п - Г
lim (VVi + 1 — у/п — 1) =	lim		2		.			=
n-юо	n-юо Vn + 1 + v n - 1
		= 2		lim				1
					>/n + l + \/n - 1
Поскольку последовательность у/п + 1 + у/п — 1 — беско-
нечно большая, то последовательность			,			-—,				— бес-
				у/п + 1 + у/п - 1
конечно малая. Отсюда lim	,	^—.				= 0, а значит, и
n-юо Vn + 1 +				у/п — 1

lim (Vn + 1 - \/n - 1) = 0. п—юо

3) Поделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень п (выбираем из двух вариантов у/пJ и у/п), т.е. на yfn? = п3 /2 . Тогда

у/п? _ 1 _ 1 _ 1

у/п + 1	V^ J L_					L_ 1 _|		L_ '
	Vn3 ^ Vn3				V ^	П ^		257

17-2361

Оба слагаемых в знаменателе последней дроби, т . е Д и

, —

бесконечно малые последовательности, следовательно, вся эта дробь — бесконечно большая последовательность. Отсюда

				1
lim	у/п?		= lim			= ОО.
	—=				-L=
n - юо	у / п + 1		71—ЮО — -]
				п ^

Найти

6.3.11.

6.3.13.

6.3.15.

6.3.17.

6.3.19.

пределы:
lim	2п — 5
71—ЮО		п
Ит	n	4	+ 5 n 2 - l
П^оо 10п			- Зп + 2
lim	4п3 - 5п2 + 10п
n - юо	2 1 п 3 + 7п - 8
lim	A ^ i + Зп.
n-юо		П + 2
lim (у/п2			+ п — п).

	6.3.12. Ит
		п-юо 3 — п		\
	6.3.14.	Ит g 3
		п->оо Ъп6 + 4п — 2n + 1
	6.3.16.	lim (п + 1)3 (w _ 1)3
		n—t 00		f?"+l
	6.3.18.	lim д 2n + l .
			V n2	+ n + 4
	6.3.20.	l i m л/п 2		+п - л/9п 2 +2п

у/n3 + l — у/8n3 + 2 '

Дополнительные задачи

Используя определение, доказать, что данные последовательности бесконечно малые:

6.3.21.

6.3.22.

6.3.23.

1, i,	... , Ду, ...
4 ' 9 '	гг
1 1 1	_1_

2 ' 4 ' 8 ' ' " ' 2 I n 5 •

6.3.24. Доказать, что последовательность { a n } = |I П3 "f^ Л0 J} — беско-

нечно малая, и для каждого данного е найти такой номер N, что для всех n ^ N верно неравенство |п„| < е, где

1)е = 0,1;

2)£ = 0,01;

3)£ = 0,001.

Используя определение предела, доказать, что:

6.3.25. lim	а		= 1.	6.3.26. lim	—ч	-	= 5.
		— — -L-		О.О.^О. 11II1
71—ЮО4 - п				тг^оо п2		+ 7

6.3.27. lim ЗП+0п~ 1 = 3. 71—ЮО О

258

g.3.28.

Найти

6.3.29.

6.3.31.

6.3.33.

6.3.35.

6.3.37.

6.3.38.

Найти предел а последовательности {#п }, где хп = ZL±_^QS7m

Найти номер N, начиная с которого величина \хп — а\ будет меньше е, если

1 ) в = | ;

2) £ = 0,1;

	3 ) £ = 502'
	пределы:
	lim	(п + 2)3					6.3.30.
	п—юо	Ъг?				у
		2п + 5		п	+ 4		6.3.32.
	lim	П.		2п + 3
	п-юсЛ 4n + 1
	lim	5" — 1					6.3.34.
	п—юо 5П + 1
	lim	1 —					6.3.36.
		i - i - , q ф 1.
	п—юо I — q
	lim	+ 4	, если		lim	хп = —1.
	n-юо			п—• оо
	lim	\/n3		+ п2	- 4 - tffi
		\/п5 + 2п + Уп6				+ 3п4 + 2*

п—юо \ 72 + 2					2п +	т)-
lim	f - 4
lim (v^n3			— 4п2 — :
71—•оо \
lim	1 + 2 + 3 + -- - + П
71—ЮО				г?~+1		'
	1 + I + I + ... + -L
lim		'	3	9		^ Зп
	1 +		I	+	i +
п ^						+I 471

Более сложные задачи

6.3.39.	Доказать, что у одной последовательности не может быть двух
	разных пределов.
6.3.40.	Показать, что частное двух бесконечно малых последователь-
	ностей может не быть бесконечно малой последовательностью.
6.3.41.	Привести пример такой бесконечно малой последовательности
	{хп }, что:
	1) первые сто ее членов больше 1000;
	2) существует бесконечно много как положительных, так и от-
	рицательных ее членов.
6.3.42.	Доказать, что следующие последовательности {#п } не имеют
	предела:
	l ) * „ = ( - l ) n ;	2 ) * п = 1 + ( - 1) п ;
	3) хп = sin	4) хп = (—5)п;
	5) хп = п2;	6) хп = 1 + 2 + • • • + п.
6.3.43.	Привести пример последовательности {#п }, которая расходит-
	ся, но для которой последовательность {|#п|} сходится.

259