Сборник задач по высшей математике

Найти

8.3.9.

8-3.11.

8.3.12.

				t = х2 -2х+ 17,		у = X - 1,
				dt = (2ж — 2) dx		dy = dx
= 4	dt	f	r	dy	=	4		I 13	r	dy
	Г - + 13			ay		4	17		f	(у2 + 16)2 '
	J t2^	J		[y2 + 16]2		x2-2x +			J

Для вычисления последнего интеграла воспользуемся рекуррентной формулой при п = 2, а2 = 16. Тогда

Г

dy

_

1

у

1

1

/•

dy

1

г

у2 42

J

(у2 + 16)2 ~

2 • 1 • 16 ' {у2 + 16)

16 ' 2

J

У

1

1

У

^

32(у2

+ 16)

+ ^ ' 7 a r c t 6 7 + С =

' 32

1 (

х — 1

1

х — 1 \ _

= 3 2 U 2 ~ 2 x + 17 + 4 a r C t g —

Отсюда окончательно

8х + 5

/( « 2 - 2 ® + 1 7 ) 2 < f a ~

13 /

х — 1

1

х - 1 \

4

32 \х

о- , ^ + 7 a r e t 8 — ; ~ J " 3 . 2 , 0 - ,

2 — 2х + 17

4

ь

4 у

ж 2 - 2 а ; + 17

интегралы:

[ т ^ М

8.3.10.

У

(ж2

f

-

т-з—Р—^.

У

{х

+ I)3

Ах + 29)

[

, л

У

(а;2 + 6а; + 10)2

Вычислить интегралы:

в) [ Зж — d x .

'J X6 + ж2 + ж

Оа) Подынтегральная дробь — правильная. Разложим ее на сумму простейших дробей первого типа:

7ж + 4	_ Л	_ В _
(ж — 3)(ж + 2)	~ х — 3 + х + 2'

Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты А и В, при-
	(х — 3)(ж + 2)	(х — 3)(ж + 2)			'
ведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю,
т. е.	^ + 4	+ ^ +		_ з)
откуда			- 3).		(3.2)
	7ж + 4 = А(х + 2) +

350

Из полученного равенства можно найти коэффициенты А и В двумя способами: с помощью метода неопределенных коэффициентов или метода частных значений. Рассмотрим оба способа.

1. Метод неопределенных коэффициентов. Раскроем скобки в правой части равенства (3.2) и сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

7х + 4 = {А + В)х + (2А - 2>В).

Так как многочлены в обоих частях полученного равенства тождественно равны, то у них должны быть равны и коэффициенты при соответствующих степенях переменной х. Сравнивая эти коэффициенты, получаем систему двух уравнений:

(А + В = 7 [2А-ЗВ = 4.

Решая эту систему, найдем А = 5, В = 2.

2. Метод частных значений. Придадим неизвестной х в равенстве (3.2) частное значение х = 3. Тогда получим

7 • 3 + 4 = А • (3 + 2), т. е. 25 = 54,

откуда А = 5. Подставляя теперь в уравнение (3.2) значение х = — 2 (удобнее всего подставлять значения, обращающие одну или несколько скобок в правой части равенства в ноль; эти значения совпадают с действительными корнями знаменателя

подынтегральной дроби), получим
7 • ( - 2 ) + 4 = В • ( - 2 - 3),
откуда В = 2.
Таким образом,
	7х + 4		_ 5				2
(х -	3)(х + 2) ~ ж - 3 +						ж + 2
и, стало быть,
7х + 4	_	г	dx		^	f	dx		_
/
(х — 3)(х + 2)	Х~	J	х-3 +		J	х + 2			~

= 51n|x-3| + 21n|x + 2| + С . б) Подынтегральная дробь — правильная, однако ее знаме-

натель не до конца разложен на множители. Поэтому сначала преобразуем знаменатель:

(х2 - 1){х + 1) = (х - 1){х + 1)(х + 1) = {х - 1)(х + I)2 .

Отсюда	х2 + Ъх — 2	*2 + 5* - 2	'
	( х 2 - 1 ) ( х + 1)	( х - 1 ) ( х + 1)2

351

Разложим эту дробь на простейшие:

	х2 + Ъх - 2	А	В	+	С
	( х - 1 ) ( х + 1)2	х - 1	(х + 1)2		х + 1'

Приводя к общему знаменателю и избавляясь от знаменателей, приходим к равенству

х2 + 5х - 2 = А(х + I)2 + В(х - 1) + С(х - 1)(х + 1).

Для вычисления неизвестных коэффициентов А, В и С воспользуемся методом частных значений.

Положим х = 1, тогда

12 + 5 - 1 — 2 = А - ( 1 + I)2 ,

т. е. 4А = 4, откуда А= 1. Аналогично, положим х = —1. Тогда

(—I)2 + 5 • (—1) — 2 — В • (—1 — 1),

откуда В = 3.

Осталось найти коэффициент С. Поскольку «удобных» частных значений уже не осталось, придадим х какое-нибудь значение, приводящее к не очень громоздким подстановкам. Проще всего положить х = 0. Тогда -2 = А - В - С, откуда, с учетом найденных значений А и Б, получим —2 = 1 — 3 — С,

т. е. С = 0.
Итак,	я	+ 5х — 2		1	3
	( х - 1 ) ( х + 1)2			х - 1	(х + 1)2 '
т. е. окончательно
х2 + 5ох — 2z		J	_ г ахdx	Л г	dx
/ (x -i)(x+D	dx1)=		У х - 1	7	(х + 1)2
х2 - 1 х				J

х + 1

в) Данная подынтегральная дробь — неправильная, поэточ му сначала выделим целую часть, поделив числитель на знаменатель «столбиком»:

х5	+ 0 • х4 + 0 • х3 + 0 • х2 - 1							х3	+ х2 + х
"х5	+ X4 + X3							х2	- х
	-	X4 -		х3 + 0 - х 2			- 1
-	-	х4	—	X3 -		X2
						х2	- 1
т. е.		X5	- 1		о			X2 - 1
				= X		— X +
		X3 + X2 + X					X3 + X2 + X

352

Отсюда

[	-т——тг-— dx	=	[ (х2
J	x3 + x2 + x	J v

- х) dx	+	[ -J^-—— dx =
'	J	x3 + x2 + x

			r	x2	- 1
=	Xs	X2				ax.
	3	2	Ь I —7;
			У x3	+ x2 + x

Разложив на множители знаменатель полученной правильной дроби, представим ее в виде суммы простейших:

х2 - 1	_ А	Вх +С
х ( х 2 + х + 1)	X	х 2 + х + 1'

Избавляясь от знаменателей, получим

х2 - 1 = А{х2 + х + 1) + (Вх + С)х.

Сначала воспользуемся методом частных значений. Положив х = 0, найдем А = — 1. Далее воспользуемся методом неопределенных коэффициентов (на практике часто приходится комбинировать оба метода). Раскроем скобки в правой части последнего равенства и приведем подобные:

х2 -1 = (А + В)х2 + (А + С)х + А.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при х2 и х, в левой и правой частях последнего равенства получим систему

двух уравнений:	е
	\А + В = 1,
	\А + С = О,

откуда, учитывая, что А = — 1, найдем оставшиеся коэффициенты: В = 2, С = 1. Таким образом,

	х2 - 1		1	2х +1
откуда	х3 + х2 + х = —х + х2 + х + 1'
f / - 1	dx = - f ^ + f			?X + 1 dx =
J X3 + X2 + X	J	X	J X2 + X + 1
=	[t = x2 + x + 1 =» dt = {2x + 1) dx]				=
	/	dt
		— = — In |x| + In\t\ + С =
= - In \x\ + ln(x"22 т+лXT+j-1)) T+оС—= Inill X2 +					x + 1	+ C.
					X

Возвращаясь к исходному интегралу, получим окончательный ответ:

х5 -1	,	х		х2	,	i	2 m i
			3					+ с .	•
с3 + х2 + х	dx = —			— + In
		3		2					353

23 - 2361

Найти

интегралы:

Q О 1 О [ 2ж — 3

2) dx.

8.3.14.

/ ж ^

± 2 _

8-ЗЛЗ-

J

(х-5)(х +

6ж + 5 dx.

8.3.15.

I

dx

8.3.16.

[ х ъ + х 4 - 8

dx.

х

J

"Т5^4ж

8.3.17.

/

dx

8.3.18.

/7ж3 -10ж2 +50ж-77

dx.

х 3

- 8 *

(ж2+9)(ж

+ж—2)

Дополнительные задачи

Найти интегралы от

простейших дробей:

8.3.19.

5dж

8.3.20.

4dж

h

3*

+ л/2

Vof dx

8.3.21.

f

7 dx

8.3.22.

(® + 3)"'

J

J

(Зж3 + 2)

8.3.23.

dx

8.3.24.

dx

4ж + 8

+ ж + Г

8.3.25.

[

6ж: + 1

dx.

8.3.26.

5ж 4- 2

dx.

2ГГ 8ж + 25

J

+ 2ж + 10

8.3.27.

J

х2 + Зх + 5

dx.

8.3.28.

j

2ж - 1

5ж2

+ 2ж + 1 dx.

[

* + 2

8.3.29.

х — 1

/

(ж2 + 2ж + З)2 dx.

8.3.30.

I

(хЛ^ +

ЬУ dX-

8.3.31.

/

(ж2

dx

8.3.32.

f

(Зж + 2) da;

+ 1)4 '

У

(x

- 3x + 3)'2'

Найти

интегралы:

л

8.3.33.

Г

2ж — 3

8.3.34.

X -

ж — 4

J

(х — 1)(х + 2) dx.

2)(x

- 3) dx.

8.3.35.

/

xdx

8.3.36.

I

^

L d

x .

4х - 5

/ ж

+ x - 6

8.3.37.

f

—-Зж2 +ж+19.

dж.

8.3.38.

f

x - 1

- 4) dx.

J (х — 4) (х — 2) (ж +1)

У

(x +

l)(x'

2

8.3.39.

f

(х2 + 2) dx

8.3.40.

J

(ж-1)(ж + 1)2 '

8.3.41.

/

х4 dx

8.3.42.

/

dx

(ж2 — 1)(ж + 2)'

8.3.43.

/

ж dx

8.3.44.

f

dx

(x

(ж2 -1)(ж2 + 1)'

+ l)(x2 + 4)

8.3.45.

Г 2ж2 — Зж — 3

8.3.46.

/• x4 + х* + x2 + x + 1 .

J

(ж2 — 2ж + 5)(ж — 1) dx.

У

(x2 + l ) 2 ' x

354

8 . , . 4 Г .

j * - У +

«-3"8'

1 Ш ^ Т 0 7 Т 2 У

Более сложные задачи

Найти интегралы:

8 -3 -5 5 -	1 Л Т
8.3.57.	Jf х2(х* + 2х+ l \ d+x	1)ч.

8.3.48.

8-3-50- / А -

8.3.54. / а ^ А .

8 - 3 - 5 6 -
8.3.58.	[ ,	+ \	dx.
	J	(х200 - 1)х

§4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Если в рациональной дроби некоторые из слагаемых в числителе или знаменателе заменить корнями от рациональных дробей (в том числе от многочленов), то полученная функция будет называться иррациональной1.

В некоторых случаях интегралы от иррациональных функций удается рационализировать, т. е. с помощью подходящей подстановки свести к интегралам от рациональных дробей. Рассмотрим наиболее типичные случаи (везде далее подразумевается, что подынтегральная функция — иррациональная).

1. Если корни в подынтегральном выражении имеют вид:

лУж™, Ух?, \[хЧ

и т. д., то оно преобразуется в рациональную дробь с помощью подстановки х = tk, где к — наименьшее общее кратное показателей корней, т. е. чисел га, s , . . .

2. Если выражение под знаком интеграла содержит только корни ij/(ax + b)m, У (ах + у/(ах + Ь)г и т. д. (в частности, при Ь = 0, a = 1 получаем случай 1), то оно приводится к рациональной дроби с помощью подстановки ах -I- Ь = tk, где к — наименьшее общее кратное показателей корней, т. е. чисел га, s , . . .

хЭто определение иррациональной функции не совсем строгое, но оно вполне подходит для наших целей.

355

21*

3. Если выражение под знаком интеграла содержит только корни

/ t e F ' ftsWи т <»™сти - ^ с=о.

d = 1 получаем случай 2, а при с = b = 0, d = а = 1 — случай 1), то оно приводится к рациональной дроби с помощью подстановки CXах I CL = tk,

где к — наименьшее общее кратное показателей корней, т. е. чисел га, qy в,...

4. Если подынтегральное выражение представляет собой дифференциальный бином, то есть равно хт • (a+bxn)p dx, где га, га, р — рациональные числа, то данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби в следующих трех случаях:

1) р — целое число; тогда интеграл можно рационализировать при помощи подстановки х = tk, где к — общий знаменатель дробей ш и п ;

2) т + 1 — целое число; тогда рационализация достигается подста-

новкой а + Ьхп = tk, где к — знаменатель числа р;

3) 171 ^ ^ + р — целое число; в этом случае интеграл рационализируется с помощью подстановки а • х~п + Ь = tk, где к — знаменатель числа р.

8.4.1.Найти интеграл J

О В подынтегральном выражении есть корни второй и третьей степеней от х, поэтому делаем подстановку х = t6 (6 —

наименьшее общее кратное чисел 2 и 3). Отсюда dx = 6£5 dt и, значит,

ахdx	_ гг от6*5 dtси	Л	г[ t3 dt
/	J	~	J t+ 1

-I/		LJ t + i	J t +1,
J	* + i
		rfi — In I* + 1| =
		t + 1
	= б [ у У - * + l)<ft-ln|*+l|		=

=- у+ <-ln|i + l|) +C = 2< 3 - 3t 2 + 6«-61n|t + l| + C =

Найти интегралы:

8.4.2.	j	...	8.4.3.	f	dx
	Vx2	— i / r		j	т^гщ-

356

8.4.4.

Найти интеграл [ х

dx.

Jvl + х

ОНаименьшее общее кратное показателей корней в подынтегральном выражении равно 6, поэтому делаем подстановку

(случай 2)	1 + х = £6, откуда х = t6		— 1, dx	= 6£5 dt, то есть
f x y ^	d x = f {	t 6 - v + 1 ?	.6t*dt =	(>f(t° + t°-tS)dt =

Найти интегралы:

8.4.5.		= . 8.4.6.		f	dx
	/у/ (2x + l)2 — \/2xT~l			J T T W + T
8.4.7.	Найти интеграл J	§ '	•

ОВ соответствии с указанной выше рекомендацией (случай 3)

сделаем подстановку j- ~ ^ = £2. Отсюда 1 — х = (1 + х)£2, т. е.

1

- t

2

и значит,

х = т — V ,

1

+ Г '

ах =

2Т2

at = — —

ого at.

( i + n

2\2

(i + П

Таким образом,

г

/1-х

dx _

г

1 + t2

(-4t)dt

_

J \ 1 + X X ~ J 1-t2' (1 + t2)2 ~

+ 1i)

(:t2

- 1)

+ 1

dt =

=

4

8 2

2 a

dt

= A

2

2

+ l)

I (t(t

-i)(tl)(«

7I

(*w^- l)(*

_

Г г

t2 - 1

r

dt

~

[J (f - 1 )(i2 + 1)

+ J

(t2 - l)(f2 + 1)

' Ч Л - ^ Ч ^ - Ч Л г -

357

1-х _ I

= 2arctgVrr! + ln

1+®

1

+ c

=

1 S + 1

ll-x

V T - x - л / Г + х

= 2 a r c t g V T T ^ + l n

л/1 - X + л/1 + X +

c.

8.4.8.

Найти интеграл

J

f

x

^

dx.

• yjx - 1

8.4.9.

Найти интеграл J %/x • \/l + 3 • Vx2 dx.

О Представим данный интеграл в следующем виде:

J х * • (1 + 3-a?*)4 dr.

Отсюда видно, что под знаком интеграла стоит дифференци-

альный бином (случай 4), при этом

1

9=

1

Так

как в данном случае

m + 1

А + 1

=

2

— целое число, то

_ з.

71

2

= t3. Следова-

следует применить подстановку 2), т.е. 1 + Зхз

тельно, х

=

~~

и

значит, dx

=

t3 - 1)5

• t2 dt.

Таким образом,

J

\/l + З^/х2

d£ =

J

л/3

2

Найти	интегралы:
8.4.10.	Jf y/x( 1 +				dx.
Дополнительные задачи
Найти	интегралы:
8.4.12.			dx
	J		х +	Vtf'
8.4.14.	J		x(l	-	v x )
8.4.16.	J	[	/ * d x
			1 + y/x

8.4.11. f —M	.
J x \J x2	+ 1

	8.4.13.	f	- ^ d x .
		J	1+Vx3
	8.4.15.	Г	y/xdx
		J	x — л/х2
	8.4.17.	/	y/xdx

358

8.4.18.	dx.
r	dx

8.4.20.

j (х + 1)3/2 + ( Х + 1 ) Г

8.4.22.

8.4.24. / i f V l / Ш * -

8.4.26.dx

^/ ( х - 1 ) 2 ( х + 1 )'

8.4.28.	/	dx
8.4.30.	/	dx
8.4.32.	x11	• Vx^TT
	J x 5 .	^/(l + x3 )2 dx.

8.4.34.J y/x(\ + л/^)3 dx,

8.4.36.dx

/л/l - 2x - x 2 '

8.4.38.	Г	3x — 5	dx.
	-J	y x 2 — 4x	+

8.4.40.j ^ f ^ d x .

8.4.42. J X • ^ 2dx.

Более сложные задачи

Найти интегралы:

8.4.44.f Лух_1_у/х _ 2'

8.4.46*. [	' / &	•
J ®2 + 1	v ^ 4	+ l

			х dx
	8.4.19.	/л/х + 1 + ^Х + 1'
	8.4.21.	/л/1 + X + 1 dx.
			у Т Т х - 1
	8.4.23.	[		dxa
		J	лЛ - 2х - VI-2х'
	8.4.25.	/		dx
			\/{х — 1)3(х — 2)'
	8.4.27.	Г		dx

J (1 — x)\/l — х2

8.4.29.J x3 • v T T x 2 dx.

8.4.31.	/	dx
8.4.33.	f	dx

J x3 • \/2 - x 3 '

8.4.35.J tyx^l x2 dx,

	8.4.37.	f		[x-	2) dx
		j		(x -
				y/x ~ lOx + 29
	8.4.39.	f	x + 1			dx.
		J	yjlx -		X2
	8.4.41.	J	\/4 - x2 dx.
	8.4.43.	/		dx
			x V x 2		+ l'

8.4.45.	/	dx
		xy/x2 — 1
8.4.47.	J	Г yjx(x + Tj	l	dx.
		y/i + y/x +

§5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Интегралы от тригонометрических функций во многих ситуациях удается рационализировать либо существенно упростить. Рассмотрим шесть наиболее типичных случаев.

359