Методические указания Гриценко
.doc
МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ
СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФИЛИАЛ
КАФЕДРА ОБЩЕНАУЧНОЙ ПОДГОТОВКИ
ГРИЦЕНКО Л.В., КОСТЕЦКАЯ Г.С.
Применение производной к исследованию функции
и построению графика.
Методические указания к индивидуальным заданиям
по разделу курса математического анализа
Ростов-на-Дону
2013
УДК 517.1 (07)
ББК 22.161
Е 91
Гриценко Л.В., Костецкая Г.С. Применение производной к исследованию функции и построению графика. Методические указания к индивидуальным заданиям по разделу курса математического анализа. Ростов-на-Дону: СКФ МТУСИ, 2013. – 59 с.
Качественное усвоение курса математики невозможно без регулярной самостоятельной работы студентов. Настоящее пособие содержит индивидуальные задания для самостоятельной работы. Приведен образец выполнения задания и 2 комплекта по 25 индивидуальных заданий. Может быть использовано для проведения практических занятий по математике, самостоятельных работ под руководством преподавателя, для проведения проверочных работ.
Печатается в соответствии с решением кафедры общенаучной подготовки СКФ МТУСИ, протокол № 1 от 2 сентября 2013 г.
Рецензент: Константинова Я.Б., кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры ОНП СКФ МТУСИ
Содержание
1. Справочные материалы…………………………………………………………4
2. Образец задания………………………………………………………………….8
3. Образец выполнения задания…………………………………………………...9
4. Варианты заданий……………………………………………………………...19
Комплект 1……………………………………………………………………..19
Комплект 2……………………………………………………………………..38
Литература………………………………………………………………………...59
СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Правила дифференцирования
1. ;
.
2. ; ; .
3. – уравнение касательной.
4. – уравнение нормали.
5. ; ; .
,
,
.
6. – сложная функция.
или .
7. – взаимообратные функции.
.
8. – параметрически заданные функции.
или ; , т.е. .
Таблица производных
1. , ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. , , ;
7. ;
8. , , ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. ;
15. ;
16. ;
17. ;
18. ;
19. ;
20. ;
21. .
Таблица производных сложной функции
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. , , ;
6. ;
7. , , ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. ;
15. ;
16. ;
17. ;
18. ;
19. .
Образец задания
1. Найти производную функции .
2. Используя логарифмическое дифференцирование, найти производную функции .
3. Составить уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .
4. Найти производную если функция задана параметрически:
при .
5. Найти экстремумы функции .
6. Найти частные производные функции по каждой их независимых переменных.
7. Найти производную от функции , заданной неявно.
8. Найти производную функции указанного порядка в заданной точке : , .
9. Провести полное исследование функции и начертить график.
10. Исследовать функцию на экстремум.
Образец выполнения задания
Задание 1
Найти производную функции .
Решение
Используя правила дифференцирования и таблицу производных, получим:
Ответ: .
Задание 2
Используя логарифмическое дифференцирование, найти производную функции .
Решение
Логарифмическое дифференцирование выполняется в следующей последовательности:
-
обе части уравнения логарифмируем по основанию
;
-
применяем свойство логарифма, получим ;
-
дифференцируем обе части равенства
;
-
после упрощения получим
.
Ответ: .
Задание 3
Составить уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .
Решение
Уравнение касательной имеет вид:
.
Найдем производную .
.
Вычислим . .
Запишем уравнение касательной:
Ответ:
Задание 4
Найти производную если функция задана параметрически:
при .
Решение
Производная находится по формуле:
Найдем
Найдем
Отсюда
Вычислим
Ответ:
Задание 5
Найти экстремумы функции .
Решение
-
Найдем область определения функции: .
-
Найдем критические точки:
.
3) Исследуем критические точки с помощью достаточных условий экстремума:
|
|||||
|
|
|
4) Вычислим значение функции в точках и :
Ответ:
Задание 6
Найти частные производные функции по каждой их независимых переменных.
Решение
;
.
Ответ: ,
.
Задание 7
Найти производную от функции , заданной неявно.
Решение
Для нахождения производной нужно:
1) продифференцировать обе части равенства по , учитывая, что есть функция от :
2) Из полученного уравнения находим :
Ответ: .
Задание 8
Найти производную функции указанного порядка в заданной точке : , .
Решение
Последовательно дифференцируя , находим первую, вторую и третью производные:
Ответ:
Задание 9
Провести полное исследование функции и начертить график.
Решение
Полное исследование функции и построение графика проводится по схеме:
-
Область определения функции ;
-
точки разрыва второго рода и вертикальные асимптоты;
-
четная функция;
-
точки пересечения с осью : нет точек пересечения;
-
точки пересечения с осью : ;
-
уравнение наклонной асимптоты имеет вид :
получаем ;
-
находим интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции, используя первую производную:
при ;
не существует при , но эти точки не принадлежат области определения
|
не существует |
|
не существует |
||||
|
не существует |
|
|
не существует |
|
;
-
находим интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба, используя вторую производную:
, .
не существует при , но точки не принадлежат области определения
|
не существует |
не существует |
|
||
не существует |
не существует |
-
Построим график функции
Задание 10
Исследовать функцию на экстремум.
Решение
-
Находим частные производные первого порядка
Составим и решим систему уравнений
.
Таким образом, точка критическая.
-
Находим частные производные второго порядка
.
Для точки получим .
Вычислим .
Согласно достаточному условию в точке экстремума нет.