Евклидово пространство.

В линейном пространстве были введен понятия сложения векторов и умножения вектора на число (скаляр). Одним из примеров линейного пространства является пространство обычных векторов (направленных отрезков). Однако, в пространстве обычных векторов, помимо операций сложения и умножения на число, введены и другие понятия – длина вектора, угол между векторами, скалярное произведение векторов. Все эти понятия составляютметрику пространства. Введем метрику и в обобщенное линейное пространство.

Линейное пространство R называется евклидовым, если в нем введено скалярное произведение любых двух его векторов, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. Скалярное произведение (x,y) любых двух векторов x Є R, y Є R есть действительное число;

2. (x, x) > 0 для любого х ≠ 0, (х х) = 0 длях = 0;

3. (x, y) = (y, x);

4. (x + y, z) = (x, z) + (y, z);

5. (λx, y) = λ(x, y).

П р и м е р ы .

1. В пространстве обычных векторов скалярное произведение определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними. Аксиомы 1 – 5 при этом выполняются. Таким образом, пространство обычных векторов (направленных отрезков) является евклидовым.

2. Рассмотрим n-мерноепространствоR, в котором векторы заданы как упорядоченные системыn чисел

x = { x₁, x₂, ... , x _n},y = {y₁,y₂, ..., y _n }.

Тогда скалярное произведение можно определить равенством

(x, y) = x₁ y₁ + x₂ y₂ + ... + x _n y _n.

Это определение согласуется с определением скалярного произведения обычных векторов. Аксиомы 1 – 5 , очевидно, выполняются.

О п р е д е л е н и е . Длиной или нормой вектора х называется выражение

Введем оценку скалярного произведения двух любых векторов, принадлежащих евклидову пространству R. При любомλ имеем

.

Рассматривая это выражение как квадратный трехчлен относительно λ, получим

(x, y)² – (x, x) (y, y) ≤ 0

(x, y)²≤ |x|²|y|²−неравенство Коши- Буняковского.

Отсюда |x + y|²= (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) ≤ |x|²+ 2 |x| |y| + |y|²= (|x| + |y|)².

(*) |x + y|≤|x| + |y| − неравенство треугольника.

|x| |y|

|x + y|

В евклидовом пространстве вводится понятие угла между векторами

Векторы x и y, скалярное произведение которых равно нулю (х, у), называются ортогональными.

Очевидно, если x иyортогональны, тоcos(x, y) = 0.

О п р е д е л е н и е . Базис евклидова пространства e₁, e₂ , … , e_n называется ортогональным, если все векторы этого пространства ортогональны, т. е. (e_i,e_j) = 0 (i ≠ j).Если, кроме того, |e_i| = 1(i = 1, 2, ..., n), то базис называется ортонормированным или декартовым.

Примером ортонормированного базиса являются векторы i, j, k в пространстве обычных векторов.

Выражение скалярного произведения через координаты ортонормированного базиса.

Пусть e₁, e₂ , … , e_nортонормированный базис(|e_i| = 1,(e_i , e_j ) = 0, i ≠j).

x = x₁ e₁ + x₂ e₂ + … + x_n e_n, y = y₁ e₁ + y ₂ e₂ + … + y _n e_n.

(x, y) = x₁ y₁ + x₂ y₂ + .... + x_n y_n. (*)

|x| =

Обратно. Если скалярное произведение определяется формулой (*), то базис, в котором рассматриваются векторы х и у – ортонормированный, т.к. в этом случае (e_i,e_i )= 1,

(e_i,e_j) = 0 (i ≠ j).